Введение. Математическое программирование.

Исследование операций– прикладное направление кибернетики, используемое для решения организационных и экономических задач (например, задач распределения ресурсов, управления запасами, упорядочения и согласования и др.). Главный метод – системный анализ целенаправленных действий (операций) и объективная (в частности, количественная) сравнительная оценка возможных результатов этих действий. Исследование операций основывается на аппарате математического программирования, теории массового обслуживания, математической статистике, теории игр и др.

Данное научное направление сформировалось во время второй мировой войны, прежде всего для планирования военных операций и их обеспечения, откуда и появилось название «исследование операций».

Математическое программирование – область мате­матики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограниче­ниями, т. е. задач на экстремум функции многих пере­менных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях возможностей процесса, называют целевой функцией, показателем эффективности или критерием опти­мальности. Возможности процесса формализуются в виде системы ограничений.

Модель задачи математического программирования включает:

- совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);

- целевую функцию (функцию цели, показатель эф­фективности, критерий оптимальности, функционал зада­чи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилуч­ший вариант из множества возможных. Наилучший ва­риант доставляет целевой функции экстремальное значе­ние. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень об­служивания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;

- набор условий или ограничений. Эти условия следуют из огра­ниченности ресурсов предприятия, из особенностей производственных и технологических процессов. Ограниченными могут быть материальные, финансовые и трудовые ресурсы, возможности технического, техноло­гического и научного потенциала.

Математически ограничения выражаются в виде уравне­ний и неравенств. Их совокупность образует область до­пустимых решений. План, удовлетворяющий системе ограничений зада­чи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, на­зывается оптимальным. Оптимальное решение не обяза­тельно является единственным, возможны случаи, когда оно не су­ществует или имеется бесчисленное множество оптимальных решений.

Задача математического программированияформулируется следующим образом: найти значения переменных x₁, x₂,…, x_n, доставляющие максимум (минимум) заданной целевой функции y = f (x₁, x₂,…, x_n) при условиях:

g_j(x₁, x₂, …, x_n) £ (³, =)b_j, (j = ).

Различают два вида задач математического программирования:

- задачи линейного программирования (целевая функция у и ограничения g_i линейны относительно переменных х).

- задачи нелинейного программирования (целевая функция у и (или) ограничения g_i имеют разного рода нелинейности).