Элементы комбинаторики. Правила умножения и сложения.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых их элементов заданного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос: «Сколькими способами?» Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих 2х важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения.

Если из некоторого множества первый объект (элемент х) можно выбрать n1 способами и после каждого такого выбора второй объект (элем у) можно выбрать n2 способами, то оба объекта (х и у) в указ порядке можно выбрать n1*n2 способами. Это правило распространяется на случай трех и более объектов. Пример: сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если: а) числа не повторяются; б) числа могут повторяться. Решение: а) 1ую цифру выбираем 5мя способами, 2ую – 4мя, 3 – 3мя 5*4*3=60 способов; б) 5*5*5=125 способов.

Правило сложения.

Если некоторый объект х можно выбрать n1 способами, а объект у можно выбрать n2 способами, причем первые и вторые выборы таковы, что они взаимно исключают друг друга и не могут быть получены одновременно, то объект хUу (х или у) можно выбрать n1+n2 способами.

Пример: Четыре города M,N,P,K соединены дорогами так, что из M в N ведут 5дорог, из N в K – 6 дорог, из M в P ведут 4 дороги, из P в К – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из М в К? Решение: Из М в К через N ведут 5*6=30 дорог, Из М в К через P ведут 4*3=12 дорог. Из М в К ведут 30+12=42 дороги.

Определение и формулы для вычисления перестановок, размещений, сочетаний.

Размещения, перестановки, сочетания

Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .

Определение. Размещениями множества из n различных элементов по m элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число всех размещений множества из n элементов поm элементов обозначается через A_mⁿ(от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и m=1,2…

Теорема. Число размещений множества n из m элементов по элементов равно

Основные понятия алгебры случайных событий: случайный эксперимент, случайное событие, элементарное событие, пространство элементарных событий, достоверное событие, невозможное событие.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа очков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным – выпадение 3 очков. Эти элементарные события называют благоприятствующими случайному событию А. Все прочие элементарные события данного опыта, не благоприятствующие событию. В теории вероятностей элементарное событие или событие-атом – это подмножество пространства исходов случайного эксперимента, которое состоит только из одного элемента. Важно заметить, что элементарное событие – это всё ещё множество, состоящее из одного элемента пространства исходов, но не сам элемент. Однако элементарные события обычно записываются как элементы, а не как множества с целью упрощения, когда это не может вызвать недоразумения. Случа́йный экспериме́нт (случайное испытание) — математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.

8. Основные операции алгебры случайных событий. Аксиомы и теоремы алгебры событий.Если в результате эксперимента всякий раз происходит некоторое событие, то это событие называется достоверным (обозначается ).

Если в результате эксперимента некоторое событие не происходит никогда, то оно называется

невозможным ( ).

Если в результате эксперимента событие может произойти, либо не произойти, то оно называется случайным (обозначается А, В, С, …).

Назовем некоторый элементарный исход эксперимента благоприятствующим событию А, если в результате эксперимента, в котором имел место данный элементарный исход, происходит событие А. Тогда любое случайное событие можно представить, как совокупность (множество) случайных исходов, благоприятствующих этому событию, т.е. как некоторое подмножество из пространства

элементарных событий . Суммой А + В (АВ) случайных событий А и В называется случайное событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий, т.е. в результате эксперимента происходит хотя бы одно событие. Произведением А•В (АВ) случайных событий А и В называется случайное событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих и событию А, и событию В, т.е. в результате эксперимента события А и В происходят одновременно. Разностью А – В (А\В) случайных событий А и В называется случайное событие, состоящее из элементарных исходов, которые благоприятствуют событию А и не благоприятствуют событию В, т.е. в результате экспер происх событие А и не происходит событие В.