Расчет надежности в случае ненагруженного резерва

Цель. Достижение заданной надежности системы с ненагруженным резервом.

Пусть система состоит из одного работающего элемента и (N-1) резервных (ненагруженных).

Отказ системы наступает в тот момент, когда отказывает последний из N элементов.

Наработка системы до отказа:

t_c = t₁ + t₂ +……+ t_N (1)

Пусть все N элементов имеют одинаковое распределение наработки до отказа со средним значением t_o и дисперсией σ².

t_o = = . (2)

Математическое ожидание (среднее значение) величины наработки системы до отказа:

M(t_c)=N·t₀.

Математическое ожидание М - это среднее значение, это центр распределения.

Дисперсия (рассеивание) величины наработки системы до отказа:

σ²(t_c)= N·σ². (3)

Среднее квадратическое отклонение σ - это положительное значение корня квадратного из дисперсии.

Дисперсия является характеристикой рассеивания случайной величины, разбросанности ее значений около математического ожидания.

Чем больше рассеиваются отдельные значения случайной величины, тем больше будет дисперсия, потому что суммируются квадраты отклонений от центра. Чем дальше отстоят отдельные значения от середины, тем больше будут их отклонения, тем больше будет дисперсия.

При достаточно большом значении t_c (практически при N > 10) вероятность безотказной работы системы с ненагруженным резервом определяется следующим образом

. (4)

Пусть количество элементов с ненагруженным резервом N=9 (1 основной, 8 запасных элементов).

Средняя наработка до отказа каждого элемента системы t₀=100 ч.

Среднее квадратическое отклонение рассеивания случайной величины
σ =50 ч.

Проанализировать изменение вероятности безотказной работы Р_с(t) системы во времени (при 600 ч, 900 ч и 1200 ч).

Определим Р_с(t) по уравнению (4). Значение функции F₀(U_α) определяем из справочных данных (приложение А). Результаты сводим в таблицу 1.

;

.

Таблица 1 - Изменение вероятности безотказной работы системы во времени

t, ч.
Рс(t)	0,977	0,500	0,023

Из таблицы 1 видно, что 8 запасных частей (N=9) хватит на 600 ч. работы с довольно высокой вероятностью Р_с(t)=0,977, а на 1200 ч. - только с вероятностью 0,023.

Такие расчеты важны для определения норм запасных частей.

Для расчета нормы запасных частей заданную вероятность безотказной работы системы примем равной α.

Из формулы (4):

, (5)

где - квантиль нормального распределения.

Умножим обе части выражения для расчета квантиля на ( ):

. (6)

Поделим обе части уравнения (6.6) на t₀:

(7)

где - средний расход запасных изделий за время t;

- коэффициент вариации. Коэффициент вариации V - отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Если V = 10 %, то это значит, что среднеквадратическое отклонение σ составляет одну десятую от математического ожидания - М.

Тогда выражение (7) примет вид:

. (8)

Решим уравнение относительно N:

. (9)

И после некоторых преобразований (9) получим окончательное выражение для расчета нормы запасных частей N для заданной вероятности α.

.

. (10)

Пример выполнения практической работы.

В механической системе деталь, подвергающаяся износу, имеет наработку до отказа со средним значением t₀ = 1 месяц = 720 ч и средним квадратическим отклонением σ = 300 ч.

Определить норму запасных деталей этого типа на время t=8640 ч для принятых на нефтегазоперерабатывающих и химических производствах вероятностей безотказной работы системы α₁=0,7; α₂=0,8; α₃=0,9.

Решение.

1) Определим средний расход запасных деталей за время t=8640:

2) Определим вероятность безотказной работы системы с этим количеством деталей за время работы t:

.

Значение функции F₀(U_α) определяем из справочных данных (см. приложение А):

.

То есть, при наличии 12 запасных деталей в системе с ненагруженным резервом можно достигнуть вероятности безотказной работы 0,5.

3) Коэффициент вариации

4) Найдем по справочнику по надежности (приложение А) квантили для заданных вероятностей (интерполировать!):

α₁=0,7 U_α1·= 0,5244

α₂=0,8 U_α2 = 0,8416

α₃=0,9 U_α3 = 1,2820

5) Рассчитаем норму запасных частей по формуле (10):

5.1) при α₁=0,7

12,9.

Для достижения вероятности безотказной работы α₁=0,7 необходимо 13 запасных деталей.

5.2)при α₂=0,8

13,3.

Для достижения вероятности безотказной работы α₂=0,8 необходимо 14 запасных деталей.

5.3) при α₃=0,9

14,01.

Для достижения вероятности безотказной работы α₃=0,9 необходимо 15 запасных деталей.

Вывод.

Таким образом, 13 деталей хватит для работы в течение 8460 ч с надежностью несколько большей 0,7; 14 деталей - с надежностью 0,8 и 15 деталей - с надежностью 0,9.