Расчёт резервирования замещением для случаев облегченного резерва, ненагруженного резерва и общего нагруженного резервирования с последействием

Схемы резервирования замещением приведены на рисунке 5.7.

Рас­чётные соотношения для общего резервирования замещением с целой крат­ностью для устройств любой кратности ре­зервирования позволяет получить рекуррентная формула [8]

(5.21)

где Р_m+1(t), Р_m(t) - вероятности безотказной работы резервированной системы кратности m + 1 и m соответ­ственно; P(t - τ) - вероятность безотказной работы ос­новной системы в течение времени (t - τ); a_m(τ) - час­тота отказов резервированной системы кратности m в момент времени τ.

Для получения рабочих формул необходимо выполнить интегрирование в правой части, подставив вместо P(t - τ) и a_m(τ) их значения в соответствии с выбранным законом распределения и состоянием ре­зерва.

Для случая общего резервирования с замещением вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа при экспонен­циальном законе надёжности и нагруженном состоянии резерва опре­деляются формулами (5.7) и (5.9). Для облегченного резерва с замещением вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа при экспонен­циальном законе надёжности и при идеальных (безотказных) переключателях равны [4, 8]:

(5.21 а)

(5.22)

где λ_Н - интенсивность отказов резервного устройства до замещения.

При ненагруженном состоянии резерва с замещением вероятность безотказной работы и средняя наработка до отказа при экспонен­циальном законе надёжности равны [4, 8]:

(5.23)

(5.24)

где λ₀ и Т_{1 0} - интенсивность отказов и средняя наработка до отказа основного (нерезервированного) устройства.

Для случая раздельного резервирования замещением при нагруженном состоянии резерва вероятность безотказной работы P_НЗ(t) и средняя наработка до отказа Т_НЗ при экспонен­циальном законе надёжности рассчитываются по формулам (5.15) - (5.17).

Принципиально возможно определить надёжность системы при резервировании замещением без использования рекуррентной формулы методами теории массового обслуживания (ТМО). Однако, в ряде случаев, полученные в результате этого расчётные формулы могут быть неточными и не пригодными для практических расчётов из-за принятых в этой теории допущений.

Покажем это для случая расчёта надёжности при резервировании замещением, когда интенсивности отказов основного и резервного элементов не равны по величине. Для этого случая мы решим лишь задачу резервирования замещением с кратностью резерви­рования резерва один к одному, то есть задачу с дублированием.

Пусть имеется система из одного рабочего и одного резервного невос­станавливаемых элементов. Резервирование ненагруженное замещением. Полагаем, что переключатели абсолютно надежны (Рп » 1). Требуется опре­делить надёжность системы методами теории массового обслуживания (ТМО). Интенсивность отказа основного элемента λ₁, а резервного λ₂.

Решение этой задачи будем проводить в следующем порядке:

а) изобразим граф всевозможных состояний системы (рисунок 5.8). На этом рисунке S₀ – состояние, когда работает основной элемент, S₁ - работает резервный элемент, так как основной отказал, S₂ - система не работает, так как отказали оба элемента. Поскольку элементы не восстанавливаемые - стрелки на графе направлены только в одну сторону;

б) составим систему дифференциальных уравнений для состояний S₀, S₁, S₂ по инженерному правилу А. Н. Колмогорова:

dP₀(t) / dt = - λ₁ · P₀(t), (5.25)

dP₁(t) / dt = λ₁·P₀(t) - λ₂·P₁(t), (5.26)

dP₂(t) / dt = λ₂·P₁(t). (5.27)

Так как резерв ненагруженный, то можно считать, что резервный элемент свой резерв не расходует, пока работает основной элемент. В момент отказа нельзя считать dP_k / dt = 0 и переходить к системе алгебраических уравнений. Нужно решать дифференциальные уравнения известными в математике мето­дами. Подставив в первое и второе уравнения P₀(t) = exp(- λ₁· t), получим:

dP₀(t) / dt = - λ₁ · exp(- λ₁ · t); (5.28)

dP₁(t) / dt = λ₁ · exp(- λ₁· t) – λ₂ · P₁(t). (5.29)

Последнее дифференциальное уравнение для Р₁(t) является линейным и методика решения его известна. Вначале запишем однородное уравнение

dP₁(t) / dt + λ₂ · P₁(t) = 0. (5.30)

Разделяем в нём переменные

dP₁(t) / P₁(t) = – λ₂dt (5.31)

и при его интегрировании получаем

ln P₁(t) = – λ₂× t +ln C, (5.32)

где ln C- постоянная интегрирования.

Учитывая свойства логарифма, получаем

P₁(t) = С · exp(- λ₂ · t). (5.33)

Ищем общее решение уравнения (5.29) в виде

P₁(t) = С(t) · exp(- λ₂ · t). (5.34)

Дифференцируя, имеем

dP₁(t) / dt = (dС(t) / dt) · exp(- λ₂ · t) - λ₂· С(t) · exp(- λ₂ · t). (5.35)

Подставив, выражения для P₁(t) и dP₁(t) / dt в уравнение (5.29), получим

(dС(t) / dt) · exp(- λ₂ · t) - λ₂· С(t) · exp(- λ₂ · t) + λ₂· С(t) · exp(- λ₂ · t) =

= λ₁· exp(- λ₁ · t). (5.36)

(dС(t) / dt) = λ₁· exp[(λ₂ - λ₁) · t]. (5.37)

При интегрировании последнего выражения получаем

(5.38)

где С₂- постоянная интегрирования.

Подставив в общее решение уравнения (5.29) найденное значение С(t), получим

(5.39)

Для определения постоянной интегрирования учтём, что при t = 0 Р₀(t) = Р₀(0) = 1, а значит по условию нормировки вероятности других состояний при t = 0 равны нулю [Р₁(0) = Р₂(0) = 0]. Тогда последнее выражение примет вид

P₁(0) = 0 = [λ₁ / (λ₂ - λ₁)] + С₂. (5.40)

Откуда

С₂ = λ₁ / (λ₁ – λ₂). (5.41)

И общее решение (5.39) уравнения (5.29) принимает вид

(5.42)

Следует отметить, что формулы (5.41) и (5.42) приближённые, так как при их выводе использовано инженерное правило А. Н. Колмогорова, установленное с использованием приближённого равенства

ехр(- λ · t) ≈ 1 – λ · t, (5.43)

справедливого лишь при значениях λ · t намного меньше единицы. С учётом приближённого равенства (5.43) формула (5.42) примет вид

(5.44)

в) найдя Р₁(t), определим вероятность безотказной работы системы Р(t) с учётом приближённого равенства (5.43):

Р(t) = P₀(t) + P₁(t) = exp(-λ₁· t) + λ₁· t = 1- λ₁· t + λ₁· t = 1; (5.45)

г) находим из нормировочного условия вероятность отказа системы:

Р₃(t) = 1 – Р(t) = 1 - 1 = 0. (5.46)

В результате видно, что для данной задачи расчёт с использованием системы дифференциальных уравнений для состояний S₀, S₁, S₂, составленных по инженерному правилу А.Н. Колмогорова, даёт слишком грубый результат, не пригодный для использования на практике, так как при выводе правила А.Н. Колмогорова при разложении ехр(- λ · t) в ряд не учтены члены, содержащие (-λ · t)², (-λ · t)³, (-λ · t)⁴ и т. д.

Поэтому при решении сложных задач расчёта надёжности для случаев ненагруженного и облегчённого резервирования замещением, а также резервирования замещением с учётом последействия целесообразно использовать рекуррентную формулу (5.21), либо производить вычисления по схеме «гибели» с использованием преобразования Лапласа [8]. Если произвести расчёт не удаётся, то проводят испытания на надёжность на математических моделях, либо обычные испытания изделий на надёжность.

Рассмотрим пример расчёта надёжности для случая резервирования замещением с учётом последействия.

Пример 5.1 [8].

Две аккумуляторные батареи работают на одну нагрузку. Интенсивность отказов каждой из них λ = 0,1·10^-4 l/ час. При повреждении (отказе) одной из батарей интенсивность отказов исправной возрастает вследствие более тяжелых условий работы и равна λ₁ = 0,8·10^-4 l/час. Необходимо найти вероятность без­отказной работы системы в течение времени t = 1000 час, а также среднее время безотказной работы.

Решение.

В нашем случае имеет место общее резер­вирование с постоянно включенным резервом. Так как при отказе одной батареи интенсивность отказов другой, исправной, изменяется, то имеет место последействие отказов. Дублированная система исправна в течение времени t при следующих благоприятных ситуациях:

А - ни одна из батарей за время t не отказала;

Б - аккумуляторная батарея 1 отказала, проработав время τ < t, а батарея 2 оставалась исправной в течение времени t;

В - аккумуляторная батарея 2 отказала, проработав время τ < t, а батарея 1 оставалась исправной в течение времени t.

Можно найти вероятность безотказной работы системы Р_С(t) как сумму вероятностей благоприятных гипотез, т.е.

Р_С(t) = Р_А(t) + Р_Б(t) + Р_В(t). (5.47)

Гипотезы Б и В одинаковы, поэтому Р_Б(t) = Р_В(t)и тогда

Р_С(t) = Р_А(t) + 2Р_Б(t). (5.48)

Так как Р_А(t) есть вероятность того, что за время t ни одна из батарей не откажет, то

Р_А(t) = ехр(-2λ · t). (5.49)

Вероятность гипотезы Б можно вычислить, восполь­зовавшись выражением

(5.50)

где a₁(τ) · dτ - вероятность отказа первой батареи в мо­мент τ (вернее, в течение малого промежутка dτ); a₁(τ) = λ · ехр(- λ ·t) - частота отказов первой батареи в момент τ; P₂(τ) = ехр(- λ ·t) - вероятность безотказной работы аккумулятор­ной батареи 2 в течение времени τ, т.е. до отказа первой батареи; P₂(t - τ) - вероят­ность безотказной работы батареи 2 за промежуток вре­мени от τ до t. Так как в этом промежутке интенсив­ность отказов батареи равна λ₁, то

P₂(t - τ) = ехр[-λ₁×(t - τ)]. (5.51)

Подставляя все значения вероятностей в выражение (5.50) для Р_Б(t) и интегрируя, получаем

(5.52)

Тогда вероятность безотказной работы резервирован­ной системы будет

Р_С(t) = Р_А(t) + 2Р_Б(t) =

= ехр(- 2λ · t) + 2 · λ·{ехр[-t×(2λ - λ₁)] -1}· [ехр(-λ₁×t)] / (λ₁ - 2λ) =

= λ₁· ехр(-2λ · t) / (λ₁ - 2λ) - 2λ · [ехр(-λ₁ × t)] / (λ₁ - 2λ). (5.53)

Подставляя в эту формулу значения времени t = 1000 час, а также зна­чения интенсивностей отказов λ = 0,1·10^-4 l/час и λ₁ = 0,8·10^-4 l/час, полу­чаем Р_С(t) ≈ 0,999.

Средняя наработка до отказа Т_1С определяется из соотношения (3.17)

(5.54)

Подставляя значения λ₁ и λ, в эту формулу, имеем Т_1С = 62500 час.

Расчет надёжности резервированных систем иногда полезно выполнять, используя схему «гибели» («чистого размножения») [8]. В соответствии с этой схемой преобра­зование Лапласа вероятности возникновения n отказов вычисляется по формуле

(5.55)

При неравных корнях знаменателя обратное преоб­разование Лапласа Р_n(s) будет

(5.56)

В формулах (5.55) и (5.56) приняты обозначения: λ₀ - интенсивность отказов системы до выхода из строя первого элемента; λ₁ - интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа первого эле­мента до второго; λ₂ - интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа второго эле­мента до третьего и т.д.; n - число отказавших элемен­тов; s_k = - λ_k - k-й корень знаменателя выражения (5.55); B'(s_k) - производная знаменателя в точке s_k.

При одинаковых опасностях отказов λ_ί, т.е. λ₀ = λ₁ = λ₂ =…= λ_n, расчетные формулы имеют вид

(5.57)

При расчетах надёжности по формулам (5.55) - (5.57) следует помнить, что они не определяют вероят­ности безотказной работы (или вероятности отказа) резервированной системы, а определяют лишь вероят­ность n-го состояния системы, т.е. вероятность того, что в системе откажут n элементов. Для вычисления вероят­ности безотказной работы «необходимо находить вероят­ности 0, 1, . . ., n отказов, когда система еще находится в работоспособном состоянии (исправна), и суммиро­вать полученные вероятности.

Средняя наработка до отказа Т_1С системы при ис­пользовании схемы «гибели» вычисляется то

(5.58)

где λ_ί - интенсивность отказов системы до выхода из строя ί-го элемента.

Пример 5.2 [8].

Решить задачу, описанную в примере 5.1, используя для её решения схему «гибели».