Выявление особенностей построения окружности, касательной к трем другим

Объект исследования: процесс построения касательной окружности.

Результаты, полученные лично автором: разработан способ решения задачи с использованием инверсии.

Задача на построение окружности, касающейся трех других окружностей, сформулировал и реши древнегреческий математик Аполлоний Пергский. Книга Аполлония и приведенный в ней способ решения задачи не сохранились. Впоследствии задача была решена другими геометрами.

Решим эту задачу используя два свойства инверсии относительно окружности: - окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O ; - окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O.

Возьмем три окружности S1, S2, S3 с центрами O1, O2, O3, соответственно. Для простоты построений увеличим радиусы всех окружностей на такую величину, чтобы две окружности стали касательными (рис. 1).

Q

Введем окружность инверсии S с центром Q в точке касания окружностей S1' и S2'. Выполним инверсию окружностей S1' , S2', S3'. Окружность S3' преобразуется в окружность S3'', а окружности S1' и S2' в прямые линии S1'' , S2'' .

Рис. 1

Построим окружность Sкас'' касательную к S1'' , S2'', S3''. Применим операцию инверсии по отношению к окружности Sкас''. Полученная окружность Sкас' будет касаться трёх увеличенных окружностей S1', S2', S3' . Из центра окружности Sкас' проведём окружность касательную к трём окружностям S1, S2, S3 .

Материал поступил в редколлегию 24.03.2017

УДК 744.621

Е.С. Гаврилов

Научный руководитель: доцент кафедры «Начертательная геометрия и графика», к.т.н., М.Н. Левая

[email protected]

АНАЛИЗ ИЗОБРАЖЕНИЙ РАЗЪЕМНЫХ И НЕРАЗЪЕМНЫХ

СОЕДИНЕНИЙ ДЕТАЛЕЙ

Объект исследования: разъемные и неразъемные соединения деталей.

Результаты, полученные лично автором: проведен анализ и рассмотрены особенности изображения на чертеже различных разъемных и неразъемных соединений.

Соединение - совокупность сборочных операций по соединению деталей различными способами (свинчиванием, сочленением, клепкой, сваркой, пайкой, опресовкой, развальцовкой, склеиванием, сшивкой, укладкой и т.п.).

Разъемное соединение - соединение, которое можно многократно разъединять и соединять, не деформируя при этом ни соединяемые, ни крепежные детали. Например, резьбовое, соединение болтом, винтом, клиновое, шпоночное, зубчатое, и др.

Неразъемное соединение - соединение, которое нельзя разъединить без нарушения формы деталей или их соединяющего элемента. Например, соединение сварное, паяное, заклепочное и др.

Резьба - чередующиеся выступы и впадины на поверхности тела вращения, расположенные по винтовой линии; применяется как средство соединения, уплотнения или обеспечения заданных перемещений деталей машин, механизмов, приборов, аппаратов, сооружений.

Резьбовые соединения относятся к разъемным. Виды резьбовых соединений: болтовое соединение (осуществляется с помощью болта, гайки и шайбы); винтовое соединение (осуществляется с помощью винта, ввинчиваемого в одну из соединяемых деталей, либо винта, шайбы и гайки); шпилечное соединение (осуществляемое с помощью шпильки, один конец которой вворачивается в одну из соединяемых деталей, а на другой надевается присоединяемая деталь, шайба и затягивается гайка).

К разъемным также относятся: шпоночное соединение (осуществляемое посредством шпонки, которая устанавливается в шпоночном пазу вала и входит в шпоночную канавку присоединяемой детали); зубчатое, шлицевое соединение (осуществляется посредством выступов (зубьев на валу) и соответствующих впадин (шлицев) в отверстии детали).

В зависимости от профиля зубьев различают зубчатые соединения: прямобочное (наиболее распространённое), эвольвентное, мелкозубое треугольное; штифтовое соединение (осуществляемое посредством плотной посадки штифта (цилиндрический или конический) в соединяемые детали); сварное соединение (осуществляемое путем местного нагрева материала деталей до расплавленного или пластического состояния. В результате сшивания происходит либо кристаллизация расплавленных соединяемых кромок, либо диффузия частиц молекул металла соединяемых деталей); паяное соединение, клепаное соединение; клеевое соединение и сшивное соединение.

Материал поступил в редколлегию 22.03.2017

УДК 315(075)

Д.А. Куликова

Научный руководитель: доцент кафедры «Начертательная геометрия и графика», к.т.н., С.Л. Эманов

[email protected]

Методика определения вершин ромба

На поверхности конуса

Объект исследования: поверхность прямого кругового конуса, свойства ромба.

Результаты, полученные лично автором: разработана методикаопределения вершин ромба на поверхности конуса.

Условие задачи. На поверхности прямого кругового конуса, с осью перпендикулярной π₁ и образующей АS, построить точки В, C, D являющиеся вершинами ромба АВCD. Точка D лежит на образующей конуса 1S, параллельной плоскости π₃

Для решения задачи из школьного курса геометрии необходимо знать свойства плоской геометрической фигуры - ромба и теорему Фалеса, а из курса начертательной геометрии один из способов преобразования чертежа (замена плоскостей проекций).

Рис. 1

Проведём анализ условия задачи. По условию вершина ромба А находится на образующей конуса АS, значит вершина С должна находиться на противоположной образующей конуса S2. Вершина ромба D лежит на образующей конуса 1S, а вершина В буде находиться на образующей симметричной относительно плоскости АS2.

Введём новую плоскость проекций π₄ параллельно образующим AS и S2. В этом случае ромб проецируется на эту плоскость в линию (рис.1).

Рис. 1

Положение точки С определим исходя из положения, что на любом луче выходящем из точки А, параллельные прямые отсекают равные отрезки. Средняя точка диагонали АС должна находиться на прямой 1S, тогда точка С на прямой параллельной 1S на расстоянии равном отрезку А1. Отложим отрезок равный (А1) и из точки 3 проведём прямую параллельную 1S получим C.

На пересечении 1S и АС определим точки ВD. Построим полученные точки на основных плоскостях проекций.

Материал поступил в редколлегию 24.03.2017

УДК 681.31

А.А. Лебедева

Научный руководитель: доцент кафедры «Начертательная геометрия и графика», к.п.н., Н.В. Басс

[email protected]