Высокоточный тетраэдральный конечный элемент

Объект исследования: тетраэдральный конечный элемент с дополнительными степенями свободы в виде частных производных.

Результаты, полученные лично автором: разработана программа для одного конечного элемента, вычисляющая матрицу жесткости данного элемента. А также выполнен проверочный расчет тела на изгибную прочность с применением данного типа конечных элементов. Результаты расчета получились близкими к точному решению.

Метод конечных элементов основан на идее аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами.

В данной работе рассматривается трехмерный тетраэдральный конечный элемент. Тетраэдральные конечные элементы широко используются для расчета пространственных тел, имеющих трехосное напряженное состояние.

Недостатки данного конечного элемента

1. В случае неоднородности материала, когда теоретически нельзя допустить постоянство деформаций, возникают проблемы, связанные с применением степеней свободы в виде производных от перемещений. В этом случае можно связывать степени свободы лишь в виде трансляционных перемещений.

2. В случае с распределенной нагрузкой необходимо точное приведение нагрузки к узлам. Это связано с интегрированием, что вызывает значительные сложности.

Достоинства данного конечного элемента

Увеличение количества степеней свободы конечного элемента не за счет увеличения количества узлов КЭ. Высокая точность результатов вследствие использования полного кубичного интерполяционного полинома и дополнительных степеней свободы.

В качестве степеней свободы КЭ имеет не только трасляционные перемещения (u,v,w) , но и значения их производных ( Полный кубический полином содержит 20 членов. Каждой из вершин соответсвует по три компоненты трансляционного перемещения и для каждой компоненты перемещения – по три частные производные, всего 12 величин на узел. Это приводит к появлению 48 степеней свободы. Дополнительные 12 степеней свободы можно задать в виде трансляционных перемещений центров каждой из четырех граней. Всего конечный элемент имеет 60 степеней свободы.

Основные формулы.

Полный кубический интерполяционный полином имеет вид (1):

u(x,y,z)=a₁+a₂x+a₃y+a₄z+a₅x²+a₆y²+a₇z²+a₈xy+a₉yz+a₁₀zx+a₁₁x³+a₁₂y³+a₁₃z³+

+a₁₄xy²+a₁₅xz²+a₁₆yx²+a₁₇yz²+a₁₈zx²+a₁₉zy²+a₂₀xyz (1)

Или в тетраэдральных координатах (2):

u=L₁a₁+L₂a₂+L₃a₃+L₄a₄+L₁L₂a₅+L₃L₄a₆+L₄L₁a₇+L₃L₂a₈+L₂L₄a₉+L3L2a10+(L₁²L₂-L₂²L₁)a₁₁+(L₃²L₄-L₄²L₃)a₁₂+(L₄²L₁-L₁²L₄)a₁₃+(L₃²L₂-L₂²L₃)a₁₄+(L₂²L₄-L₄²L₂)a₁₅+

+(L₃²L₁-L₁²L₃)a₁₆ (2)

где L ₁, L₂, L₃, L₄ - тетраэдральные координаты, или объемные L-координаты, находятся по формуле(3):

где – объем, заключенный между линиями, соединяющими точку с вершинами тетраэдра, противолежащими вершине i.

Линейные соотношения между деформациями и перемещениями, связь между деформациями и напряжениями такие же, как и для других конечных элементов.

Матрица жесткости конечного элемента задается выражением (4):

(4)

где матрица и содержат производные от функций форм.

Матрица имеет размер [6][60] .

Мы использовали формулы численного интегрирования для тетраэдров с 5-ю точками интегрирования. В дальнейшем, для повышения точности решения, необходимо взять большее количество Гауссовых точек интегрирования.

Таким образом, получаем:

(6)

где - весовые коэффициенты (для каждой точки интегрирования), - объем тетраэдра.

В дальнейшем планируется использование данного конечного элемента в программном комплексе DSMFem.

Материал поступил в редколлегию 04.05.2017

УДК 629.1.015

А.С. Кондрашова

Научный руководитель: профессор кафедры «Механика и динамика и прочность машин», д.т.н. В.И. Сакало

[email protected]