Метричні властивості проекцій пар геометричних фігур

Під метричними розуміють задачі на визначення відстаней, кутів i площ. У практиці інженерної діяльності метричні задачі „у чистому вигляді ” трапляються рідко, значно частіше розв’язування метричних задач переплітається з розв’язуванням позиційних задач. Різновид метричних задач багато, проте кожна з них складається з двох основних.

1. Перша основна метричну задачу на визначення відстані між двома точками.

2. Друга основна метрична задача полягає у визначенні кута між прямими, які перетинаються, адже кут між геометричними фігурами вимірюється кутом між двома прямими що перетинаються..

Точка і пряма. Дві прямі

Розглянемо такі положення геометричних фігур, при яких відстані та кути проекцiюються в натуральну величину. Почнемо із взаємного розміщення точки i прямої. При загальному положенні прямої відстань від точки до неї зображується в натуральну величину, якщо ця пряма є лінією нахилу площини, яка задається цією точкою i прямою . У цьому разі відрізок , що вимірює відстань від точки до прямої паралельний одній із площин проекцій а отже, зображується на ній без спотворення і визначається трьома параметрами. На рис. 25 ,зображено пряму m та i точку А. Пряма е лінією нахилу відносно площини П₁. Відстань від точки до прямої вимірюється відрізком горизонтальної прямої. Сформулюємо властивість: відстань від точки до прямої проекцiюються в натуральну величину, якщо пряма є лінією нахилу площини, заданої точкою та прямою, до однієї. з площин проекцій.

З цієї властивості випливають два наслідки.

1 . Відстань від точки до прямої проекцiюються в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо пряма вертикальна, на фронтальній, якщо пряма фронтально проекцiюювальна. На рис. 26, а зображено вертикальну пряму m i точку А, відстань між якими зобразиться без спотворення на полі П₁.

2. Відстань від точки до прямої проекцiюються в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо площина, що задана точкою та прямою, горизонтальна, i на фронтальній проекції, якщо ця площина фронтальна. На рис. 26, б показано пряму n i точку В, які задають фронтальну площину. відстань від точки до прямої зобразиться без спотворення на полі П₂.

Тоді на підставі властивості, що стосується відстані між точкою та прямою, сформулюємо властивість, яка характеризує відстань між паралельними прямими: відстань між двома паралельними прямими загального положення зображується в натуральну величину, якщо прямі є лініями нахилу площини, яку вони задають, до однієї з площин проекцій. Справді, якщо на одній із паралельних прямих взяти точку, то цю властивість можна звести до попередньої. На рис. 27 зображено відстань між двома лініями нахилу — m i n, що вимарюється відрізком горизонталь прямої АВ. Із цієї властивості можна вивести два

наслідки.

1. Відстань між паралельними прямими проекцiюються в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо прямі вертикальні, i на фронтальній, якщо вони фронтально проекцiюювальні (рис.28, а).

2. Відстань між паралельними прямими зображується в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо задана ними площина горизонтальна, i на фронтальній, якщо площина фронтальна (рис. 28,б).

Дві перетині або мимо6iжнi прямі утворюють між собою кут. Сформулюємо властивість, щодо проекціюювання цього кута в натуральну величину: кут між мимобіжними чи перетинними прямими проекціюється в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо прямі горизонтальні (рис. 29, а), i на фронтальній, якщо вони фронтальні (рис. 29,б).Та якщо пряма т фронтально проекціююча(рис. 30 а) або горизонтально проекціююча(рис. 30 б), то проведемо з т₂ та т₁, під прямим кутом червону лінію та отримаємо дійсну величину відстані між прямими.

Розглянемо тепер взаємну перпендикулярність двох прямих. На рис. 31 а зображено дві взаємно перпендикулярні площини — горизонтальна П₁ i вертикальна П₄ Крім того, задано горизонтальну пряму m, що належить П₄ i вертикальну площину П₅ , перпендикулярну до прямоїm у точці А, а отже, i до площини П_4. Через точку А проходить пряма n, що належить площині П₅ i утворює, як відомо, з лінією m прямий кут. Цей кут проекцiюються без спотворення на горизонтальну площину проекцій П₁, оскільки його сторони лежать на гранях горизонтально проекцiюювального прямого двогранного кута, утвореного площинами П₄ i П₅

Неважко помітити таке: якщо в площині П₅ взяти у пряму k (яка завжди перпендикулярна до m), мимобіжну з прямою m, то цей кут мимобiжностi також спроекцiюється без спотворення на горизонтальну площину проекцій. На підставі наведених міркувань можна сформулювати таку властивість: прямий кут перетину чи мимобiжностi проекцiюються в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо хоча б одна його сторона горизонтальна, i на фронтальній, якщо хоча б одна його сторона фронтальна.

На рис. 32 а показано прямий кут перетину, одна сторона якого горизонтальна, а на рис. 32, б — прямий кут мимобiжностi, одна сторона якого фронтальна. Ці кути зображуються в натуральну величину в першому випадку на полі П₁ , а в другому П₂. Якщо для завдання прямого кута перетину потрібно чотири параметри, то для прямого кута мимобiжностi досить трьох.