Оптимизация и принятие решений

Поиск наилучшего решения инженерной задачи включает отыскание и сравнение нескольких его вариантов по одному или нескольким показателям – критериям. Такой процесс называют оптимизацией.

Математически модель оптимизации можно представить в виде уравнения

(2.1)

при ограничениях

, (2.2)

где U – критерий оптимальности; х_i – оптимизируемые параметры (i = 1, 2, ..., m); m – число параметров; y_j – исходные расчетные величины (j = 1, 2, ..., n); n – число исходных величин; z_k – неизвестные факторы (k = 1, 2, ..., р); р – число неизвестных факторов.

Условиями инженерной задачи являются исходные расчетные величины, оптимизируемые параметры и ограничения. В качестве исходных расчетных величин у_i выступают физико-механические свойства горных пород, обводненность, температура пород, технические характеристики машин, механизмов, различного оборудования и т.п. Эти величины нельзя изменить в ходе решения задачи (ими нельзя управлять). В ряде случаев в качестве исходных величин могут выступать неизвестные факторы z_k, значение которых нельзя предсказать заранее. Например, проектируется безнапорный гидротехнический тоннель. Необходимо установить высоту свободного пространства от поверхности воды до шелыги свода. Однако уровень поверхности воды зависит от паводков, размеры которых и моменты наступления заранее неизвестны.

К оптимизируемым параметрам x_i в области проектирования подземных сооружений могут относиться, например, форма и размеры поперечного сечения выработок, материал и конструкция обделки, место и глубина заложения выработки, расстояние между подходными выработками и др. Эти параметры в ходе решения инженерной задачи могут изменяться, т.е. ими можно управлять, добиваясь заданной цели или с достаточной точностью приближаясь к ней.

Однако оптимизируемые параметры не могут принимать любые значения. Например, габаритный размер не может иметь отрицательную или нулевую величину; скорость движения воздуха в горной выработке не может превышать допустимого максимального или минимального значения и т. п. Следовательно, эти параметры имеют ограничения, которые могут быть двух видов: функциональные и областные. Функциональным ограничением является точное задание рабочих характеристик, входных параметров или других показателей. Функциональные ограничения выражают в виде равенства: например, класс прочности бетона должен быть принят 30 или масса патрона взрывного вещества (ВВ) равна 250 г. Областные ограничения отличаются от функциональных тем, что они характеризуют диапазон допустимых отклонений и выражаются неравенствами: не больше, не меньше, больше и т.п.

Оптимизация предполагает определение управляемых параметровx_i, которые приводят критерий оптимальности к экстремальному значению. Математические методы оптимизации описывают пути нахождения управляемых параметров x_i, которые приводят к экстремальному значению целевую функцию 2.1 при различных ограничениях2.2. B качестве целевой функции (критерия оптимальности) принимают минимальные стоимость объекта или сроки его строительства, максимальную скорость проходки выработки, наименьшие приведенные затраты и т.п.

Расчетные методы оптимизации редко дают единственное оптимальное решение. Чаще они выделяют некоторую область практически равноценных оптимальных решений, в пределах которой должен быть произведен окончательный выбор, т.е. принято решение. Обычно это компромисс, учитывающий разные факторы: экономические, технические, экологические, социальные и др. Принять правильное решение – значит выбрать такую альтернативу, в которой будет оптимизирована общая ценность.

Некоторые решения принимают без специальных обоснований, на основе интуиции и здравого смысла (например, первоначальный выбор вида крепи (обделки) и формы поперечного сечения выработки, способа и технологии строительства, вида транспорта и т.д.).

Однако чаще принятие решения требует более доказательного подхода. Чем более сложным и дорогостоящим является проектируемый объект, процесс или элемент, тем менее допустимы в нем «волевые» решения и тем большее значение приобретают научно обоснованные методы.

Оптимизация служит для количественного обоснования принимаемых решений при относительно небольшом числе критериев оптимальности. При необходимости учета значительного числа зачастую противоречивых критериев используют теорию полезности, оперирующую разного рода ценностями, в качестве которых могут выступать деньги, время, престиж, потеря невосполнимых ресурсов и т.д.

Количественные методы оптимизации дают наилучшее решение задачи, выраженной в виде целевой функции. Но она обычно не является единственным наилучшим решением реальной задачи. Принятие решений является сложным вопросом, который предполагает учет не только количественных, но и человеческих факторов и суждений о ценности.

Поэтому принятие окончательного решения выходит за рамки точного расчета и относится к компетенции одного ответственного лица, например, директора проектной организации, главного инженера проекта, или группы лиц (совета директоров, технического совета и т.п.), которым предоставлено право окончательного выбора. При этом учитывают не только количественные параметры оптимизации, но и ряд соображений качественного характера, которые расчетом не были учтены. Иногда бывает необходимо поступиться одной из характеристик (например, надежностью), с тем, чтобы получить выигрыш в другой (например, в затратах).

Основными критериями оптимальности принято считать показатели экономической эффективности, к которым относят, в частности, рост общественной производительности труда, максимальную экономию затрат общественно необходимого труда и соответствующее этому снижение стоимости.

В качестве критерия оптимальности при заданной величине ожидаемого результата (например, производительности) могут выступать капитальные вложения в строительство новых, расширение, реконструкцию и модернизацию действующих основных фондов. При расчете эффективности в ряде случаев учитывают не только прямые капитальные вложения, но и затраты на сопряженные отрасли народного хозяйства, обеспечивающие строительство оборудованием, энергией и материалами, а также затраты на строительство в необжитых районах и создание нормальных условий для обслуживающего персонала.

В отдельных случаях возникает необходимость в учете капитальных вложений в сопутствующие работы (например, затраты на перенос населенных пунктов при затоплении территории проектируемой ГЭС).

Общей суммой капитальных затрат K обычно пользуются при оптимизации проектных решений с одинаковым объемом продукции или перевозок. Если эти объемы различаются, то в качестве критерия выступают удельные капитальные вложения ∆K_N, которые определяют по формулам:

∆K_N = K/N (2.3)

или

∆K_Э = K/Э,(2.4)

где N – годовая мощность предприятия или пропускная способность тоннеля; Э – годовая выработка продукции или провозная способность (в денежном выражении).

При решении задач оптимизации в транспортном строительстве в качестве критерия оптимальности может выступать экономический эффект в результате ускорения доставки груза и пассажиров.

Для конкретных транспортных линий суточная экономия оборотных средств, высвобождаемых в результате увеличения скорости перевозки груза,

С_г= K_г∑Рl/365(1/v – 1/v₁),(2.5)

где K_г – средняя цена перевозки 1 т груза, руб.; Р – грузопоток или годовое отправление груза, т; l – среднее расстояние перевозки, км; v, v₁ – средняя скорость продвижения груза до и после сокращения сроков перевозки, км/сут.

В качестве критерия оптимальности могут выступать текущие затраты (эксплуатационные расходы). К ним относят расходы на заработную плату с начислениями на нее, топливо, электроэнергию, материалы, все виды ремонта, отчисления на реновацию и прочие расходы.

В предварительных расчетах для определения текущих затрат С_т в целом для сооружения или предприятия используется выражение:

С_т = a₀K,(2.6)

где a₀ – коэффициент, принимаемый на основе статистической обработки данных опыта эксплуатации объектов определенного профиля; для подземных ГЭС a₀ @ 0,03-0,04, но не выше 0,05.

В ряду критериев оптимизации инженерных решений значительный интерес может представлять критерий – удельные эксплуатационные затраты:

, (2.7)

, (2.8)

где С – стоимость продукции или выполненной коммерческой услуги за год; – себестоимость продукции.

В условиях рыночных отношений, согласно [4], обобщающим критерием экономической эффективности является интегральный (динамический) экономический эффект за период времени Т:

, (2.9)

где t₁ – первый год периода Т (начала финансирования проектных работ); t_k – год окончания периода Т (формула 2.12); – годовая прибыль в расчетном году t; – годовой приток амортизационных отчислений в t-м году; – инвестирование в проектирование, строительство и поддержание объекта в t-м году; – остаточная стоимость объекта в году t (ликвидационное сальдо); и – коэффициенты приведения (дисконтирования), учитывающие неравноценность затрат и полученных результатов по годам,

; (2.10)

; (2.11)

– доля прибыли, идущая на накопление в t-м году (диапазон изменения ориентировочно 0,3-0,7); – норма платы за капитал, равная ставке процента по долгосрочным займам на рынке капитала или ставке процента, выплачиваемой заемщиком; t_р – расчетный год периода Т (начальный год функционирования объекта); t – порядковый номер года, для которого определяются показатели.

Продолжительность периода Т для проектируемых объектов [4] составит (лет):

Т = Т_п+ Т_с+ Т_э, (2.12)

где Т_п– период проектирования, выполнения НИР и ОКР и подготовки производства; Т_с и Т_э – периоды строительства и эксплуатации объекта.

для объектов долговременной эксплуатации (например, транспортных тоннелей) Т_э рационально принимать не больше 30 лет, так как при большем сроке надежность прогноза величин параметров в формуле 2.9 невелика.

Наилучшим признают вариант решения задачи с максимальным значением Э^Т.

В качестве критерия оптимальности часто применяют приведенные затраты З, под которыми понимают сумму ежегодных текущих расходов С_т и единовременных капитальных вложений К, приведенных к общей размерности при помощи коэффициента Е_н, отражающего норму платы за капитал (см. формулу 2.11):

З = С + Е_нК.(2.13)

в дорыночный период Е_н имел значение в диапазоне 0,07-0,25, в рыночных условиях это переменная величина, равная норме платы за капитал.

Оптимальным считается решение, обеспечивающее минимальное значение приведенных затрат. Они являются представительным критерием оптимальности для сравнения вариантов при проектировании строительства подземных сооружений.

Обязательным условием сравнения вариантов является их равноценность по обеспечению выполнения задач. Нельзя, например, проводить сопоставление двухпутного и однопутного транспортных тоннелей, но можно сравнивать тоннель, строящийся сразу под два пути, с двумя однопутными тоннелями, сооружаемыми в два этапа.

На рис.2.1 приведены три варианта трассы железной дороги в условиях горной местности. Варианту 1 соответствует открытая прокладка пути по наибольшей длине с малыми радиусами закругления, что неблагоприятно в эксплуатации. Конкурирующими вариантами являются трасса средней протяженности с тоннелем малой длины (вариант 2) и короткая трасса с тоннелем большой длины (вариант 3).

Рис.2.1. План горной местности с вариантами трассы железной дороги

1 – без тоннеля; 2 – с вершинным тоннелем; 3 – с базисным тоннелем

Первый вариант требует наименьших капитальных затрат, но наибольших эксплуатационных, а третий вариант наоборот. Для выбора оптимального варианта необходимо выполнить расчеты по изложенным методикам и сопоставить результаты.

Если проектируемый объект (или предприятие) по варианту 1 будет давать прибыль П₁, то коэффициент Е₁ эффективности капитальных вложений в объект и срок его окупаемости составят соответственно:

; (2.14)

. (2.15)

Объект считают экономически целесообразным, если Е₁ > Е_н.

При сравнении двух вариантов проекта с капитальными вложениями соответственно К₁и К₂ и годовыми эксплуатационными расходами С₁ и С₂ можно определить сравнительный коэффициент экономической эффективности капитальных вложений:

Е = (C₁ – C₂)/(К₂ – К₁). (2.16)

Срок окупаемости Т (лет) капитальных вложений менее экономичного варианта:

T = (К₂ – К₁)/(C₁ – C₂).(2.17)

Эти расчетные значения необходимо сопоставить с нормативным сроком окупаемости Т_н и нормой платы за капитал (нормативным коэффициентом эффективности) Е_н. Если срок окупаемости равен или меньше нормативного, то более эффективен вариант с большими капитальными вложениями:

T = (К₂ – К₁)/(C₁ – C₂) ³ Т_н.

Если срок окупаемости больше нормативного, то экономичным следует считать вариант с меньшими капитальными затратами.

В ряде случаев при сравнении вариантов не требуется определять ни срока окупаемости, ни коэффициента эффективности, так как более выгодный вариант очевиден. Например, если капитальные затраты первого варианта больше затрат второго, а текущие расходы одинаковы, то, безусловно, выгоден второй вариант. Если к тому же и текущие расходы второго варианта будут также меньше первого, то второй вариант оказывается высокоэффективным еще и вследствие дополнительной рентабельности по эксплуатационным расходам.

При равенстве капитальных затрат и текущих расходов по вариантам предпочтение отдают варианту с лучшими натуральными и социальными показателями. При К₂ = К₁, а С₁ > С₂ преимущество на стороне второго варианта.

Приведем пример выбора варианта по приведенным затратам (без учета фактора времени). Рассмотрим три возможных варианта строительства (железнодорожные линии с тоннелями и без них) (табл.2.1). Из сравнения данных видно, что выгоден второй вариант, имеющий минимальные приведенные затраты.

Таблица 2.1

Сравнение вариантов железнодорожной линии по приведенным затратам

Показатели	Затраты (млн руб.) по вариантам
первый (без тоннеля)	второй (с тоннелем средней длины)	третий (с длинным тоннелем)
Капитальные вложения
Эксплуатационные расходы	2,6	2,5	1,8
Приведенные затраты	2,6 + 0,15 ´ 18 = 5,3	2,5 + 0,15 ´ 20 = 4,5	1,8 + 0,15 ´ 23 = 5,25

Однако в экономических расчетах при сравнении вариантов строительства долговременных объектов следует учитывать фактор времени путем количественной оценки экономического выигрыша в результате разновременности капитальных вложений. Если по какому-либо объекту часть капитальных вложений К₀ откладывается на несколько лет, то они будут использованы для строительства других сооружений и к концу первого года дадут экономический эффект, соответствующий нормативному коэффициенту приведения разновременных затрат Е_н.р и превратятся в сумму

К + КЕ_н.р = К(1 + Е_н.р), (2.18)

а к концу периода из t лет в сумму

К_пр = К(1 + Е_н.р)^t. (2.19)

Отсюда следует, что для сопоставления с немедленными (в нулевом году) затратами капитальные вложения, производимые через t лет, делят на коэффициент приведения затрат:

B = (1 + Е_н.р)^t.(2.20)

Обратная величина 1/(1 + Е_н.р)^t называется коэффициентом отдаления затрат.

Таким же подходом пользуются и для учета изменений во времени эксплуатационных расходов (обычно они растут с увеличением мощности предприятия, интенсивности движения и т.п.).

Сумма приведенных затрат с разновременными капитальными вложениями К_t и изменяющимися нелинейно по годам эксплуатационными расходами С_t рассчитывается по формуле

П = Е_н , (2.21)

где K_t и С_t – капитальные вложения и эксплуатационные расходы в соответствующем году t; t_c – год, ограничивающий период суммирования расходов по проектируемому сооружению.

Оптимальным считается решение, обеспечивающее наименьшую сумму приведенных затрат за принятый срок t_c. Он должен быть длительным, чтобы обеспечить учет всех влияющих факторов по капитальным вложениям и эксплуатационным расходам. В практике проектирования этот расчетный срок ограничивается самым отдаленным годом, для которого возможно достоверно подсчитать эксплуатационные расходы (обычно принимают 20-й год).

Зависимость (2.21) отражает общий случай – поэтапные, разновременные капиталовложения и нелинейное изменение эксплуатационных расходов во времени. В случае единовременных, одноэтапных капитальных вложений при нелинейно изменяющихся эксплуатационных расходах

П = Е_нK + . (2.22)

Для приведения к исходному году капитальные затраты и эксплуатационные расходы делят на коэффициент приведения, а для приведения к конечному расчетному году умножают на него. Приведение затрат к исходному или расчетному году называют дисконтированием. Норматив для приведения разновременных затрат может иметь значение от 0,08 до 0,20.

Чтобы пояснить методику расчета с учетом коэффициента приведения, вернемся к рассмотренному выше примеру расчетов приведенных затрат для трех вариантов, в котором предпочтение было отдано второму варианту, имеющему минимальные приведенные затраты. Если, например, по третьему варианту капитальные вложения 23 млн руб. произвести не одновременно, а в два этапа: вначале – 12 млн руб. для строительства железнодорожной линии с однопутным тоннелем, а через 10 лет еще 11 млн руб. для строительства второго однопутного тоннеля и соответствующего обустройства линии, то результат будет иным.

Пересчитаем капитальные вложения к исходному году с учетом коэффициента приведения (2.20):

SK_пр = 12 + 11/(1 + 0,08)¹⁰ = 12 + 5,09 = 17,09 млн руб.

Если принять Е_н = 0,15, то приведенные затраты по третьему варианту составят

млн руб.

В этом случае экономически целесообразен третий вариант.