Индексы переменного и фиксированного состава. Индекс структурных сдвигов

При изучении качественных показателей часто приходится рассматривать изменение во времени (или пространстве) средней величины индексируемого показателя для определенной совокупности.

Будучи сводной характеристикой качественного показателя, средняя величина складывается как под влиянием значений показателя у индивидуальных элементов (единиц), из которых состоит объект, так и под влиянием соотношения их весов (“структуры” объекта).

Если любой качественный индексируемый показатель обозначить через x, а его веса – через f, то динамику среднего показателя можно отразить как за счет изменения обоих факторов (x и f), так и за счет каждого фактора отдельно. В результате получим три различных индекса: индекс переменного состава, индекс фиксированного состава, индекс структурных сдвигов.

Индекс переменного составаотражает динамику среднего показателя (для однородной совокупности) за счет изменения индексируемой величины x у отдельных элементов (частей целого) и за счет изменения весов f, по которым взвешиваются отдельные значения x. Любой индекс переменного состава – это отношение двух средних величин для однородной совокупности (за два периода или по двум территориям):

. (7.23)

Индекс фиксированного составаотражает динамику среднего показателя лишь за счет изменения индексируемой величины x, при фиксировании весов на уровне, как правило отчетного периода f₁:

. (7.24)

Другими словами индекс фиксированного состава исключает влияние изменения структуры (состава) совокупности на динамику средних величин, т.е. он характеризует динамику средних величин, рассчитанных для двух периодов при одной и той же фиксированной структуре.

Аналогично можно показать динамику среднего показателя лишь за счет изменения весов f при фиксировании индексируемой величины на уровне базисного периода x₀. Такой индекс условно назван индексом структурных сдвигов:

. (7.25)

Если от абсолютных весов перейти к относительным ( и Σd =1), формулы индексов средних величин примут вид:

Индекс переменного состава:

. (7.26)

Индекс фиксированного состава:

. (7.27)

Индекс структурных сдвигов:

. (7.28)

Индекс переменного состава есть произведение индекса фиксированного состава на индекс структурных сдвигов:

. (7.29)

Пример По имеющимся данным о выпуске и себестоимости одноименного товара на двух предприятиях требуется определить изменение себестоимости единицы продукции на каждом предприятии, а также в целом по всем предприятиям с помощью индексов: а) переменного состава; б) фиксированного состава; в) структурных сдвигов.

Предприятие	Базисный период	Отчетный период
Произведено продукции	Себестоимость единицы продукции, руб.	Произведено продукции	Себестоимость ед. продукции, руб.
в тыс. шт.	в долях к итогу	в тыс. шт.	в долях к итогу
	q0	d0	z0	q1	d1	z1
		0,5			0,4
		0,5			0,6
Итого		1,0	–		1,0	–

Индивидуальные индексы для 1-го и 2-го предприятия соответственно:

= 0,8333 (83,33%); = 1,1000 (110,00%).

Для дальнейших расчетов понадобятся дополнительные расчеты:

Предприятие	Базисный период	Отчетный период	Расчетные графы
q0	d0	z0	q1	d1	z1	z0 d0	z1 d1	z0 d1
		0,5			0,4
		0,5			0,6
Итого			–			–

Средние себестоимости:

в базисном периоде руб.;

в отчетном периоде руб.

Индекс переменного состава:

(96,36%).

Индекс фиксированного состава:

(98,15%).

Индекс структурных сдвигов:

(98,18%).

Проверка %.

Себестоимость по двум предприятиям в среднем снизилась на 3,64%

Iпc – 100% = 96,36 – 100 = –3,64%.

В том числе:

- за счет изменения структуры выпуска продукции:

Icc – 100% = 98,18 – 100 = –1,82%;

- за счет снижения себестоимости на каждом предприятии

Iпc – Icc = 96,36 – 98,18 = –1,82%.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Значение критерия Пирсона χ²

df(v)	Уровень значимости α		df(v)	Уровень значимости α
0,10	0,05	0,01		0,10	0,05	0,01
	2,71	3,84	6,63			29,62	32,67	38,93
	4,61	5,99	9,21			30,81	33,92	40,29
	6,25	7,81	11,34			32,01	35,17	41,64
	7,78	9,49	13,28			33,20	36,42	42,98
	9,24	11,07	15,09			34,38	37,65	44,31
	10,64	12,59	16,81			35,56	38,89	45,64
	12,02	14,07	18,48			36,74	40,11	46,96
	13,36	15,51	20,09			37,92	41,34	48,28
	14,68	16,92	21,67			39,09	42,56	49,59
	15,99	18,31	23,21			40,26	43,77	50,89
	17,28	19,68	24,73			51,81	55,76	63,69
	18,55	21,03	26,22			63,17	67,50	76,15
	19,81	22,36	27,69			74,40	79,08	88,38
	21,06	23,68	29,14			85,53	90,53	100,43
	22,31	25,00	30,58			96,58	101,88	112,33
	23,54	26,30	32,00			107,57	113,15	124,12
	24,77	27,59	33,41			118,50	124,34	135,81
	25,99	28,87	34,81
	27,20	30,14	36,19
	28,41	31,41	37,57

ПРИЛОЖЕНИЕ

Значение t-критерия Стьюдента

df(v)	Уровень значимости α		df(v)	Уровень значимости α
0,10	0,05	0,01		0,10	0,05	0,01
	6,3137	12,7062	63,656			1,7341	2,1009	2,8784
	2,9200	4,3027	9,9250			1,7291	2,0930	2,8609
	2,3534	3,1824	5,8408			1,7247	2,0860	2,8453
	2,1318	2,7765	4,6041			1,7207	2,0796	2,8314
	2,0150	2,5706	4,0321			1,7171	2,0739	2,8188
	1,9432	2,4469	3,7074			1,7139	2,0687	2,8073
	1,8946	2,3646	3,4995			1,7109	2,0639	2,7970
	1,8595	2,3060	3,3554			1,7081	2,0595	2,7874
	1,8331	2,2622	3,2498			1,7056	2,0555	2,7787
	1,8125	2,2281	3,1693			1,7033	2,0518	2,7707
	1,7959	2,2010	3,1058			1,7011	2,0484	2,7633
	1,7823	2,1788	3,0545			1,6991	2,0452	2,7564
	1,7709	2,1604	3,0123			1,6973	2,0423	2,7500
	1,7613	2,1448	2,9768			1,6839	2,0211	2,7045
	1,7531	2,1315	2,9467			1,6706	2,0003	2,6603
	1,7459	2,1199	2,9208			1,6576	1,9799	2,6174
	1,7396	2,1098	2,8982		∞	1,6449	1,9600	2,5758

ПРИЛОЖЕНИЕ

Значение F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05

df2 (v2)	df1 (v1)	df2 (v2)
																∞
	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,35	19,37	19,38	19,40	19,40	19,41	19,42	19,43	19,45	19,46	19,50
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79	8,76	8,74	8,71	8,69	8,66	8,62	8,53
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,94	5,91	5,87	5,84	5,80	5,75	5,63
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74	4,70	4,68	4,64	4,60	4,56	4,50	4,36
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,03	4,00	3,96	3,92	3,87	3,81	3,67
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64	3,60	3,57	3,53	3,49	3,44	3,38	3,23
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35	3,31	3,28	3,24	3,20	3,15	3,08	2,93
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14	3,10	3,07	3,03	2,99	2,94	2,86	2,71
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98	2,94	2,91	2,86	2,83	2,77	2,70	2,54
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85	2,82	2,79	2,74	2,70	2,65	2,57	2,40
	4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75	2,72	2,69	2,64	2,60	2,54	2,47	2,30
	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67	2,63	2,60	2,55	2,51	2,46	2,38	2,21
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65	2,60	2,57	2,53	2,48	2,44	2,39	2,31	2,13
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59	2,54	2,51	2,48	2,42	2,38	2,33	2,25	2,07
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,46	2,42	2,37	2,33	2,28	2,19	2,01

Примечание: df₁ (v₁) – число степеней свободы для большей дисперсии;

df₂ (v₂) – число степеней свободы для меньшей дисперсии.

Окончание приложения

df2 (v2)	df1 (v1)	df2 (v2)
																∞
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,61	2,55	2,49	2,45	2,41	2,38	2,33	2,29	2,23	2,15	1,96
	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41	2,37	2,34	2,29	2,25	2,19	2,11	1,92
	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,54	2,48	2,42	2,38	2,34	2,31	2,26	2,21	2,16	2,07	1,88
	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39	2,35	2,31	2,28	2,22	2,18	2,12	2,04	1,84
	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42	2,37	2,32	2,28	2,25	2,20	2,16	2,10	2,01	1,81
	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,40	2,34	2,30	2,26	2,23	2,17	2,13	2,07	1,98	1,78
	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,44	2,37	2,32	2,27	2,24	2,20	2,15	2,11	2,05	1,96	1,76
	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,42	2,36	2,30	2,25	2,22	2,18	2,13	2,09	2,03	1,94	1,73
	4,24	3,39	2,99	2,76	2,60	2,49	2,40	2,34	2,28	2,24	2,20	2,16	2,11	2,07	2,01	1,92	1,71
	4,23	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	2,22	2,18	2,15	2,09	2,05	1,99	1,90	1,69
	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,31	2,25	2,20	2,17	2,13	2,08	2,04	1,97	1,88	1,67
	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29	2,24	2,19	2,15	2,12	2,06	2,02	1,96	1,87	1,65
	4,18	3,33	2,93	2,70	2,55	2,43	2,35	2,28	2,22	2,18	2,14	2,10	2,05	2,01	1,94	1,85	1,64
	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21	2,16	2,13	2,09	2,04	1,99	1,93	1,84	1,62
	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,08	2,04	2,00	1,95	1,90	1,84	1,74	1,51
	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,20	2,13	2,07	2,03	1,99	1,95	1,89	1,85	1,78	1,69	1,44
	4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04	1,99	1,95	1,92	1,86	1,82	1,75	1,65	1,39
	3,94	3,09	2,70	2,46	2,31	2,19	2,10	2,03	1,97	1,93	1,89	1,85	1,79	1,75	1,68	1,57	1,28
∞	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	2,01	1,94	1,88	1,83	1,79	1,75	1,69	1,64	1,57	1,46	1,00	∞