Практическая работа № 6 « Вычисление характеристик ДСВ. Вычисление характеристик функций от ДСВ»
Основные понятия и определения.
К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание и дисперсия.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины х называется произведение всех её возможных значений на их вероятности:
Свойства математического ожидания:
- математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
М(С)=С
- постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(Сх)=С*М(х)
- математическое ожидание суммы случайных величины равно сумме математических ожиданий слагаемых:
- математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…М(хn)
Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D(x)=M((x-M(x))2) или D(x)=M(x2) – (M(x))2
Среднеквадратическое отклонение:
Свойства дисперсии:
- дисперсия постоянной равно нулю:
D(С)=0
- постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(Сх)=С2*D(х)
- дисперсия суммы (разности) случайных величины равно сумме дисперсий слагаемых:
Свойства среднеквадратического отклонения:
-
-
Пример 1.Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти р(х<2), р(х>4), р(2≤х≤4), математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
xi | |||||
pi | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
Решение.р(х<2)=0,1;
р(х>4)=0,1;
р(2≤х≤4)=0,2+0,4+0,2=0,8;
М(х)=1*0,1+2*0,2+3*0,4+4*0,2+5*0,1=3;
D(x)=12*0,1+22*0,2+32*0,4+42*0,2+52*0,1-32=1,2
σ(x)= =1,095
Пример 2.Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более 20-ти центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:
цена за 10 яиц | 0,6 | 0,4 | 0,2 | -0,2 | |
Р | 0,2 | 0,5 | 0,2 | 0,06 | 0,04 |
Как оценить ожидаемую прибыль от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 100000 яиц?
Решение.х – случайная, прибыль от продажи 10 яиц.
М(х)=0,6*0,2+0,4*0,5+0,2*0,2+0*0,06-0,2*0,04=0,352
М(10000х)=10000*0,352=3520 $
D(x)=0.62*0.2+0.42*0.5+0.22*0.2+02*0.06+(-0.2)2*0.04-0.3522=0.037696
σ(x)= =0.194154578
D(10000x)=100002* D(x)=19415457.76
σ(x)= =0.441
Указания к выполнению практической работы: для решения задач использовать данные таблицы №2. Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в учебном журнале. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.
Задания:
1. Случайная величина X задана рядом распределения:
xi | -1 | ||
pi | p2 | p1 |
Найти Р{X<0}, P{X>-1}, P{-1<X<1}. Найти MX, DX.
2. Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+3 (X задана в предыдущей задаче).
Практическая работа № 7 «Вычисление характеристик
Биномиального распределения»
Основные понятия и определения.
Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей одной случайной величины принимающей целочисленные значения с вероятностями:
Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом называемым числом испытаний, и вещественным числом называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.
Основные свойства:
Характеристическая функция:
Моменты:
1. Математическое ожидание:
2. Дисперсия:
3. Асимметрия: при распределение симметрично относительно центра .
Указания к выполнению практической работы: для решения задач использовать данные таблицы №2. Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в учебном журнале. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.
Задания:
1. В партии однотипных деталей стандартные составляют Р%. Наугад из партии берут N деталей. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение М(Х), D(X), S(Х) для дискретной случайной величины Х — появления числа стандартных деталей среди N наугад взятых.
2. Два ювелирные заводы производят свадебные кольца в объеме3:7. Первый завод производит P% колец без дефекта, второй – 90%. Молодая пара перед свадьбой покупает пару колец. Построить закон распределения, вычислить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.
Практическая работа № 8 «Вычисление характеристик НСВ»
Основные понятия и определения.
Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Непрерывной назовём случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого промежутка.
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины х можно задавать либо функцией распределения F(x)=p(ξ<x), либо её производной f(x)= , называемой плотностью вероятности.
Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:
f(x)=F'(x),
а зная f(x), найдём функцию распределения:
Для непрерывной случайной величины х вероятность попадания её в промежуток с концами a и b равна:
.
Причём .
Пример.Задана следующая функция распределения:
Найти плотность распределения.
Решение.
Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:
f(x)=F'(x)=
Равномерное распределение. Случайная величина х называется равномерно распределённой на [a, b], если её плотность распределения f(x) на [a, b] постоянна, а вне [a, b] равна 0:
,
Пример 1.Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить, что ждать придётся не более 10 минут.
Решение.
Пример 2.Задана плотность распределения:
Найти h.
Решение.
h-2=1 Þ h=3
Нормальное распределение. Случайная величина х называется нормально распределённой, если её плотность распределения f(x) имеет вид:
,
где а и σ – параметры нормального распределения, σ >0.
В этом случае говорят, что х распределено нормально согласно закону N(a, σ).
Если а=0 и σ=1, то и эта функция обозначается через φ(х) и называется плотностью нормированного и центрированного нормального распределения. Функция распределения в этом случае обозначается через .
Значения Ф(х) затабулированы, .
Пример.Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см, σ=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 160-190 см?
Решение.
Правило трёх сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).
Пример.Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост мужчины в Москве а=175 см, σ=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного мужчины будет в пределах 145-205 см?
Решение.
Правило двух сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).
Правило одной сигмы. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).
Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:
.
Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле:
.
Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.
Равномерное распределение.
Пример.Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, 30]. Определить среднее время ожидания автобуса и дисперсию.
Решение.
Указания к выполнению практической работы: для решения задач использовать данные таблицы №2. Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в учебном журнале. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.
Задания:
1. Рост женщины в Уфе имеет нормальное распределение. Средний рост женщины в Уфе а=165 см, σ=8 см. Какова вероятность, что рост первой встречной женщины будет в пределах 150-170 см?
2. Время ожидания поезда (х) измеряется в минутах и распределено равномерно на отрезке [0, t]. Определить среднее время ожидания поезда и дисперсию.
3. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:
Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .