Т.е. в этом случае события А и С независимы

Пусть события удовлетворяют условиям Æ, если , и . Такую совокупность называют полной группой событий.

Пусть интересующее нас событие А может наступить после реализации одного из H_iи известны вероятности p(H_i), p(A|H_i). В этом случае справедлива формула полной вероятности .

Пример 1.Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.

Решение.p(H₁)=0,7; p(H₂)=0,3; p(A|H₁)=0,1; p(A|H₂)=0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13 (13% болванок в цехе дефектны).

Пример 2.В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?

Решение.H₁ – первый шар белый; р (H₁)=n/N;

H₂ – первый шар чёрный; p(H₂)=(N-n)/N;

A – второй шар чёрный; p(A|H₁)=(n-1)/(N-1); p(A|H₂)=n/(N-1)

Р(A)=p(H₁)*p(A|H₁)+p(H₂)*p(A|H₂)=

Формула Байеса.

Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие А произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза H_k. По определению условной вероятности

Полученное соотношение - это формула Байеса. Она позволяет по известным (до проведения опыта) p(H_i) и условным вероятностям p(A|H_i) определить условную вероятность p(H_i/А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие А уже произошло).

Пример 3.30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.

Решение.Пусть H₁, H₂, H₃ – гипотезы, заключающиеся в том, что пациент принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они образуют полную группу событий, причём p(H₁)=0,3; p(H₂)=0,2; p(H₃)=0,5. По условию событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные вероятности по данным условия равны p(А/H₁)=0,02; p(А/H₂)=0,03; и p(А/H₃)=0,01. Апостериорную вероятность p(H₃/А) вычисляем по формуле Байеса:

Указания к выполнению практической работы: для решения задач использовать данные таблицы №1. Данные своей задачи взять из таблицы по номеру, соответствующему порядковому номеру в учебном журнале. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.

Задания:

1. В двух ящиках находятся детали: в первом N из них n стандартных, во втором – Х, из них s – бракованных. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

2. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны р₁ и р_2. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

3. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны р₁ и р₂. Найти вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы один датчик, и вероятность того, что при пожаре сработает ровно один датчик.

4. В тире имеется 5 различных по точности боя винтовок. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка соответственно равна 0.5, 0.55, 0.7, р₁ и р₂. Чему равна вероятность попадания в мишень, если стрелок делает один выстрел из случайно выбранной винтовки? Попадание произошло. Чему равна вероятность того, что была выбрана первая винтовка?

5. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна р₁, а второго - р₂. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь – стандартная.