Проверка гипотез о законе распределения

В большинстве случаев закон распределения изучаемой случайной величины Х неизвестен, но существуют основания предполагать, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, экспоненциальный или какой-либо другой.

В качестве статистического критерия проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения используют критерий согласия, который используют для проверки согласия предполагаемого вида распределения с опытными данными на основе исследуемой выборки. В статистике используют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера и др.

Критерий Пирсона

Наиболее часто при проверке гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения пользуются критерием Пирсона.

Пусть задана выборка из генеральной совокупности в виде статистического интервального ряда.

Необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, пользуясь критерием Пирсона.

Правило проверки:

1. Вычисляют и (формулы 1.10-1.12, 1.16).

2. Находят теоретические частоты .

Вычислить теоретические частоты можно по формуле:

, (1.45)

где – объем выборки,

– шаг,

; (1.46)

(1.47)

- функция Гаусса, значение которой в точке , находится по таблице (приложение 3).

(1.48)

- вероятность попадания значений случайной величины в -й интервал.

Для определения составляют вспомогательную таблицу (табл. 1.8).

Таблица 1.8

3. Сравнивают эмпирические ( ) и теоретические ( ) частоты с использованием критерия Пирсона по алгоритму:

1) составляется расчетная табл.1.9, из которой определяется наблюдаемое значение критерия по формуле:

. (1.49)

Таблица 1.9

2) Определяется число степеней свободы на основании формулы:

, (1.50)

где – число интервалов;

– число параметров предполагаемого распределения.

Для нормального распределения число степеней свободы равно в виду того, что - нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами и .

4. По данным таблицы критических точек (квантилей) распределение (приложение 4) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяют правосторонней критической области.

Когда то отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности оснований не существует.

В случае если – гипотеза отвергается.

Замечание:

1) Объем изучаемой выборки должен быть достаточно большой .

2) Малочисленные частоты при следует объединять, в том числе и соответствующие им теоретические частоты.

В случае, когда производилось объединение частот при определении числа степеней свободы по формуле в качестве необходимо принимать число интервалов, оставшихся после объединения частот.

Критерий Колмогорова

На практике кроме критерия часто используют критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривается максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей ей теоретической функцией распределения:

, (1.51)

называемой статистикой критерия Колмогорова.

Критерий Колмогорова в своем классическом виде является более мощным, чем критерий Пирсона и может быть использован для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению с заранее известными параметрами.

Доказано, что какой бы ни была функция распределения непрерывной случайной величины , при неограниченном увеличении числа наблюдений вероятность неравенства стремится к пределу:

. (1.52)

Задавая уровень значимости , из соотношения (1.53):

, (1.53)

можно определить соответствующее критическое значение .

При этом график функции K(l) имеет следующий вид:

Значения K(l) находят, пользуясь данными табл. 1.10.

Таблица 1.10

l	K(l)	l	K (l)
0,30	1,0000	1,10	0,1777
0,35	0,9997	1,20	0,1122
0,40	0,9972	1,30	0,681
0,45	0,9874	1,40	0,397
0,50	0,9639	1,50	0,222
0,55	0,9228	1,60	0,120
0,60	0,8643	1,70	0,052
0,70	0,7112	1,90	0,015
0,75	0,6272	2,00	0,007
0,80	0,5441	2,10	0,0003
0,85	0,4653	2,20	0,0001
0,90	0,3927	2,30	0,0001
0,95	0,3275	2,40	0,0000
1,00	0,2700	2,50	0,0000

Если найденному значению соответствует очень малая вероятность, то есть , то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями нельзя считать случайным. Следовательно, рассматриваемая выборка не подчиняется нормальному закону распределения.

Если вероятность , то расхождение между частотами может быть случайным, и распределения хорошо соответствуют одно другому.

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1. Строят эмпирическую функцию распределения и предполагаемую теоретическую функцию распределения .

2. Определяют меру расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями с использованием формулы (1.54) и вычисляют величину :

. (1.54)

где – максимум абсолютного значения разности между накопленными эмпирическими частотами М и накопленными теоретическими частотами ,

n – объем выборки.

3. Если вычисленное значение больше критического _, определенного при уровне значимости , то нулевая гипотеза о том, что случайная величина имеет заданный закон распределения, отвергается (односторонний критерий). Если же , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным и принимается.

Замечание:

Можно отметить, что решение подобных задач можно было бы найти с помощью критерия . Потенциальное преимущества критерия Колмогорова в том, что он не требует группирования данных (с неизбежной потерей информации), а дает возможность рассматривать индивидуальные наблюдаемые значения. Этот критерий можно успешно применять для малых выборок. Считается, что его мощность выше, чем у критерия .