Построение мультипликативной модели

9. Методика построения мультипликативной модели на первом этапе полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на скользящие средние.

№ квартала, t	Потребление электроэнергии, y(t)	Скользящая средняя за четыре квартала	оценки сезонной компоненты
	4,4
		6,25	0,8
		6,45	1,39535
	7,2	6,625	1,08679
	4,8	6,875	0,69818
		7,1	0,84507
		7,3	1,36986
		7,45	1,07383
	5,6	7,625	0,73443
	6,4	7,875	0,8127
		8,125	1,35385
		8,325	1,08108
	6,6	8,375	0,78806
	10,8

10. Корректировка сезонной компоненты.Мультипликативная сезонная компонента должна удовлетворять следующим условиям:

1. Являться периодической функцией с периодом m=4, т.е.

- равенство сезонных компонент в 1 квартале;

- равенство сезонных компонент во 2 квартале;

- равенство сезонных компонент в 3 квартале;

- равенство сезонных компонент в 4 квартале.

2. .

Для выполнения этих условий найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S.

Расчет значений сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатели	Год	№ квартала, I
I	II	III	IV
		–	–	0,8000	1,3953
		1,0868	0,6982	0,8451	1,3699
		1,0738	0,7344	0,8127	1,3538
		1,0811	0,7881	–	–
Средняя оценка сезонной компоненты для,		1,0806	0,7402	0,8193	1,3730
Скорректированная сезонная компонента,		1,10949127	0,76004	0,84119	1,40977272

Для данной модели имеем:

.

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k:

.

Проверим условие равенства единице произведений значений сезонной компоненты:

.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

I квартал:	;
II квартал:	;
III квартал:	;
IV квартал:	.

Занесем полученные значения в таблицу для соответствующих кварталов каждого года.

11. Исключим влияние сезонной компоненты, разделив каждый уровень исходного временного ряда на ее значение Y/S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

№ квартала, t	Потребление электроэнергии, y(t)	Скользящая средняя за четыре квартала	оценки сезонной компоненты	Скорректированная сезоная компонента
				1,10949	5,40788394
	4,4			0,76004	5,78919123
		6,25	0,8	0,84119	5,94398597
		6,45	1,39535	1,40977	6,38400776
	7,2	6,625	1,08679	1,10949	6,48946073
	4,8	6,875	0,69818	0,76004	6,31548134
		7,1	0,84507	0,84119	7,13278317
		7,3	1,36986	1,40977	7,09334196
		7,45	1,07383	1,10949	7,21051193
	5,6	7,625	0,73443	0,76004	7,36806157
	6,4	7,875	0,8127	0,84119	7,60830204
		8,125	1,35385	1,40977	7,80267615
		8,325	1,08108	1,10949	8,11182592
	6,6	8,375	0,78806	0,76004	8,68378685
				0,84119	8,32158036
	10,8			1,40977	7,66080931

12. Определим трендовую компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,948009
R-квадрат	0,898721
Нормированный R-квадрат	0,891487
Стандартная ошибка	0,313552
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		12,21379	12,21379	124,2317	2,4E-08
Остаток		1,376405	0,098315
Итого		13,5902
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	5,4716	0,164428	33,27718	9,96E-15	5,119033	5,82436
Переменная X 1	0,1895	0,017005	11,14593	2,4E-08	0,153062	0,226005

Таким образом, имеем следующий линейный тренд:

.

Подставляя в это уравнение значения t=1,…, 16, найдем уровни T для каждого момента времени.

№ квартала, t	Потребление электроэнергии, y(t)	Скользящая средняя за четыре квартала	оценки сезонной компоненты	Скорректированная сезоная компонента
				1,10949	5,4078	5,66123
	4,4			0,76004	5,7891	5,85076
		6,25	0,8	0,84119	5,9439	6,0403
		6,45	1,39535	1,40977	6,3840	6,22983
	7,2	6,625	1,08679	1,10949	6,4894	6,41936
	4,8	6,875	0,69818	0,76004	6,3154	6,6089
		7,1	0,84507	0,84119	7,1327	6,79843
		7,3	1,36986	1,40977	7,0933	6,98796
		7,45	1,07383	1,10949	7,2105	7,1775
	5,6	7,625	0,73443	0,76004	7,3680	7,36703
	6,4	7,875	0,8127	0,84119	7,6083	7,55656
		8,125	1,35385	1,40977	7,8026	7,7461
		8,325	1,08108	1,10949	8,1118	7,93563
	6,6	8,375	0,78806	0,76004	8,6837	8,12516
				0,84119	8,3215	8,3147
	10,8			1,40977	7,6608	8,50423

13. Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели. Для этого умножим уровни T на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

№ квартала, t	Потребление электроэнергии, y(t)		T*S
		5,90184	6,281
	4,4	6,08826	4,447
		6,27468	5,081
		6,4611	8,783
	7,2	6,64752	7,122
	4,8	6,83395	5,023
		7,02037	5,719
		7,20679	9,851
		7,39321	7,963
	5,6	7,57963	5,599
	6,4	7,76605	6,356
		7,95248	10,920
		8,1389	8,805
	6,6	8,32532	6,175
		8,51174	6,994
	10,8	8,69816	11,989

Графически значения (T×S) представлены на рисунке

14. Вычислим абсолютные ошибки по формуле

и относительные ошибки по формуле

№ квартала, t	Потребление электроэнергии, y(t)	T*S		А
		6,281	-0,2811	4,68%
	4,4	4,447	-0,0468	1,06%
		5,081	-0,081	1,62%
		8,783	0,21736	2,42%
	7,2	7,122	0,07777	1,08%
	4,8	5,023	-0,223	4,65%
		5,719	0,28125	4,69%
		9,851	0,14856	1,49%
		7,963	0,03663	0,46%
	5,6	5,599	0,00078	0,01%
	6,4	6,356	0,04352	0,68%
		10,920	0,07976	0,73%
		8,805	0,19549	2,17%
	6,6	6,175	0,42457	6,43%
		6,994	0,00579	0,08%
	10,8	11,989	-1,189	11,01%

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации, вычислив среднее значение по столбцу А. Она составит 2,70%.

Таким образом, мультипликативная модель дала более высокое качество прогноза, чем аддитивная.