Раппопорт А. Математические аспекты абстрактного анализа систем. €

11. Растригин Л.А. Адаптация сложных систем. – Рига: Зинатне, 1981.

12. Уемов А.И. Системный подход и общая теория систем. – М.: Мысль, 1978.

13. Форрестер Дж. Б. Антиинтуитивное поведение сложных систем. – В сб.: Современные проблемы кибернетики. – М.: Знание, 1977.

14. Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели. – М.: Радио и связь, 1982.

15. Энциклопедия кибернетики. – Киев: Укр. энц., 1975. Т. 11.

16. Эшби У.Р. Введение в кибернетику. – М.: ИЛ, 1959.

17. Эшби У..Р. Несколько замечаний. – В сб.: Общая теория систем. – М.: Мир, 1966.

18. Юдин Д.Б., Юдин А.Д. Число и мысль. – М.: Знание, 1985. Вып. 8.

Упражнения

§ 4.1

· Приведите несколько примеров, иллюстрирующих использование свойств естественных объектов в искусственных системах.

· В фантастическом романе Стругацких “Пикник на обочине” описываются вещи, оставленные космическими пришельцами на месте их временной стоянки на Земле. Например, предмет, получивший земное название “пустышка”, состоял из двух металлических дисков, разделенных небольшим расстоянием и ничем видимым не скрепленных, но которые нельзя было ни сблизить, ни разобщить. Приведите аргументы за то, что этот предмет следует считать искусственной системой.

§ 4.2

· Как показывает история, в обществе многие системы сначала возникают естественным образом и лишь потом осознается факт их существования, выявляются и формулируются их цели. Обсудите в качестве примеров этого факта появление социальных классов, мировой системы связи, неформальных общественных групп. Приведите свои примеры.

· Обсудите естественную системность дерева, Солнечной системы, озера, других природных объектов.

· Приведите и обсудите свои примеры достижимых и недостижимых субъективных целей.

§ 4.3

· Попробуйте перечислить цели, в которых может использоваться каждая из приведенных классификаций систем.

· Подкрепите известными вам примерами классификацию, приведенную на рис. 4.5.

· Попытайтесь продолжить любую из ветвей классификации, которая вызвала у вас интерес. Вернитесь к этому упражнению после прочтения гл. 8.

§ 4.4

· Обсудите на новых примерах разницу между большими и сложными системами.

Вопросы
для самопроверки

1.
Почему целевой характер искусственных систем не позволяет без оговорок перенести понятие системы на естественные объекты?

2.
Как обобщить понятие цели, чтобы в него входило не только понятие субъективной цели, но и объективная тенденция процессов, происходящих с любым естественным объектом?

3.
Что, кроме возможности ввести понятие естественных систем, дает такое обобщение?

4.
Какие особенности управления дают основания для различения программного управления, регулирования, параметрической адаптации и структурной адаптации?

5.
На что расходуются ресурсы в процессе выработки управляющего воздействия? Почему степень обеспеченности управления ресурсами определяет качественное состояние управляемой системы?

6.
Чем отличается “большая” система от “сложной”?

7.
Не смущает ли вас то, что сложность системы оказывается не атрибутом системы, а отношением между системой и ее моделью, используемой в управлении? Помните ли вы, как рассматривалась связь между свойством и отношением в § 3.5?

РОЛЬ ИЗМЕРЕНИЙ В СОЗдАНИИ МОДЕЛЕй СИСТЕМ

Глава шестаЯ

ЭКСПЕРИМЕНТ И МОДЕЛЬ

В изначальном смысле отношение между экспериментом и моделью такое же, как и между курицей и яйцом: они находятся в одном цикле, и нельзя определить, что было “в самом начале”. Эксперимент с некоторым объектом проводится, чтобы уточнить модель этого объекта, поэтому постановка эксперимента определяется имеющейся до опыта моделью. Это полностью относится и к экспериментальному исследованию систем.

КЛАССИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Природу эксперимента хорошо понимали и понимают выдающиеся естествоиспытатели древности и современности. Приведем некоторые высказывания крупных ученых по этому поводу.

Леонардо да Винчи: “...мне кажется, что пусты и полны заблуждений те науки, которые не порождены опытом, отцом всякой достоверности, и не завершаются в наглядном опыте (...). Опыт никогда не ошибается, ошибаются ваши суждения, ожидая от него такого действия, которое не является следствием ваших экспериментов (...). Мудрость есть дочь опыта” [4] .

А. Розенблют и Н. Винер: “Любой эксперимент – всегда некий вопрос. Если вопрос неточен, получить точный ответ на него трудно. Глупые ответы, т.е. противоречивые, расходящиеся друг с другом или не относящиеся к делу иррелевантные результаты экспериментов, обычно указывают на то, что сам вопрос был поставлен глупо” [8].

И. Пригожин и И. Стенгерс [15]: “Природа, как на судебном заседании, подвергается с помощью экспериментирования перекрестному допросу именем априорных принципов. Ответы природы записываются с величайшей точностью, но их правильность оценивается в терминах той самой идеализации, которой физик руководствуется при постановке эксперимента (...). Экспериментальный метод есть искусство постановки интересного вопроса и перебора всех следствий, вытекающих из лежащей в основе его теоретической схемы, всех ответов, которые могла бы дать природа на выбранном экспериментатором теоретическом языке (...). Каков бы ни был ответ природы – ”да” или “нет”, – он будет выражен на том же теоретическом языке, на котором был задан вопрос. Однако язык этот не остается неизменным, он претерпевает сложный процесс исторического развития, учитывающий прошлые ответы природы и отношения с другими теоретическими языками (...) . Все это приводит к сложной взаимосвязи между (...) экспериментальным методом ведения диалога с природой (...) и культурной сетью, к которой, иногда неосознанно, принадлежит ученый (...). Сколь бы отрывочно ни говорила природа в отведенных ей экспериментом рамках, высказавшись однажды, она не берет своих слов назад: природа никогда не лжет” [5].

Д.С. Котари: “Простая истина состоит в том, что ни измерение, ни эксперимент, ни наблюдение невозможны без соответствующей теоретической схемы” [5, с. 364] .

QUALITATIVE качественный QUANTITATIVE количественный OBSERVATION наблюдение   Отношение между экспериментом и теоретической моделью двоякое. С одной стороны, эксперимент позволяет проверить и при необходимости уточнить модель, т.е. эксперимент является источником информации для моделирования. С другой стороны, модель диктует, какой именно эксперимент следует проводить, т.е. модель является источником информации для организации эксперимента.   Современное понимание измерений стало шире классического, предусматривающего лишь количественные и однозначные измерения: 1) измерения могут носить и качественный (а не только количественный) характер; 2) измерение может не снимать неопределенность, если она имеет расплывчатую природу; 3) измерение обычно со­провождается неизбежными погрешностями; 4) интересующая нас величина часто ненаблюдаема и поддается лишь косвенным измерениям.

Общая мысль этих высказываний ясна. Мы вернулись (правда, уже с другой стороны) к проблеме соотношения реальности и созданных нами ее моделей. Отличие от сказанного по этому поводу в § 2.6 состоит в том, что не только опыт является критерием истинности модели, но и сама постановка эксперимента диктуется моделью, так как вытекает из необходимости ее проверки или уточнения.

Рассмотрим теперь возможности опытов (т.е. практического взаимодействия) с системами. Начнем обсуждение с модели “черного ящика” (см. § 3.3), т.е. с информации о входах и выходах системы. Выбор именно этих входов и выходов и есть построение модели, которая и будет определять организацию опыта. Если мы только регистрируем события на выбранных входах и выходах, то опыт называется пассивным экспериментом (или наблюдением) . Если же мы не только созерцаем (и фиксируем) происходящее на входах и выходах, но и воздействуем на некоторые из них (одни намеренно поддерживая неизменными, другие изменяя нужным образом), то опыт называется активным (или управляемым) экспериментом.

Результаты опыта регистрируются, фиксируются с помощью измерений, т.е. изображения результатов опыта в виде символов, номеров или чисел. Способы осуществления такого отображения будут рассмотрены в § 6.2. Важно, что современное понимание измерения существенно шире только количественного измерения. Не так уж давно Гейзенберг настаивал на идее, согласно которой не нужно говорить о том, что все равно нельзя измерить. Точку зрения физиков на эту идею поясняет Р. Фейнман:

“Дело в том, что об этом толкуют многие, по-настоящему не понимая смысла этого утверждения. Его можно интерпретировать следующим образом: ваши теоретические построения или открытия должны быть такими, чтобы выводы из них можно было сравнивать с результатами эксперимента, т.е. чтобы из них не получалось, что “один тук равняется трем нукам”, причем никто не знает, что такое эти самые тук и нук. Ясно, что так дело не пойдет. Но если теоретические результаты можно сравнить с экспериментом, то это все, что нам и требовалось. Это вовсе не значит, что ваши туки и нуки не могут появляться в первоначальной гипотезе. Вы можете впихнуть в вашу гипотезу сколько угодно хлама при условии, что ее следствия можно будет сравнить с результатами эксперимента. А это не всем до конца понятно” [10, с. 180, 181].

То, что Фейнман имел в виду именно количественное сравнение, видно из приводимого им примера:

“(...) Если ваша догадка сформулирована плохо или достаточно неопределенно и если метод, которым вы пользуетесь для оценки последствий, достаточно расплывчат (...), то ваша теория всем хороша – ведь ее нельзя опровергнуть. Кроме того, если ваш метод расчетов последствий достаточно нечеток, при некоторой ловкости всегда можно сделать так, чтобы результаты экспериментов были похожи на предполагаемые последствия. Возможно, вы знаете об этом по своему опыту в других областях. Некто ненавидит свою мать. Причина, конечно, в том, что она не заботилась о нем и не любила его достаточно, когда он был маленьким. Но если вы начнете раскапывать прошлое, то окажется, что на самом деле мать его очень любила и все у них было хорошо. Ну, тогда, ясно, она его слишком баловала! Как видите, расплывчатая теория позволяет получать любой результат. Поправить ее можно было бы следующим образом. Если бы вы смогли в точности и заранее определить, сколько любви недостаточно, а сколько чересчур много, то мы могли бы построить совершенно законную теорию, пригодную для экспериментальной проверки. Но стоит об этом заикнуться, как вам скажут: “Такие точные определения невозможны, когда речь идет о психологии”. Но раз так, то нельзя утверждать, что вы что-нибудь знаете” [10, с. 174].

Эти довольно пространные выдержки приведены не только как пример живого рассказа о непростых вещах, мастером которого является Фейнман, но и как иллюстрация того, насколько развилось понимание измерений за двадцать с лишним лет (книга [10] вышла в США в 1965 г.) Оставив незыблемым принцип проверки адекватности модели на опыте, современный подход позволил расширить понятие измерений по крайней мере в четырех отношениях.

СОВРЕМЕННОЕ ПОНЯТИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. Стало ясно, что есть наблюдаемые явления, в принципе не допускающие числовой меры (например, “количество материнской любви”), но которые можно фиксировать в “слабых”, “качественных” шкалах и эти результаты учитывать в моделях, получая качественные, но вполне научные выводы (см. § 6.2).

2. Расплывчатость некоторых наблюдений также признана их неотъемлемым природным свойством, которому придана строгая математическая форма, и разработан формальный аппарат “работы” с такими наблюдениями (см. § 6.3).

3. Хотя по-прежнему считается, что чем точнее измерения, тем луч­ше, теперь осознано, что погрешности измерений являются не только чем-то побочным, чуждым для измерений (сторонние помехи, результат небрежности или ошибок оператора и т.п.), но и неотъемлемым, естес­твенным и неизбежным свойством самого процесса измерения (“шумы квантования”, соотношения неопределенности, собственные шумы ап­па­ратуры). Проверяемые на практике модели должны быть не только гипотезами об исследуемом объекте, но и гипотезами об ошибках измерения.

4. Широкое распространение получили статистические измерения, т.е. оценивание функционалов распределений вероятностей по реализации случайного процесса; этот класс измерений важен потому, что большинство временных зависимостей входов и выходов носит сигнальный характер (см. гл. 5). Для таких измерений требуется специфическая методика и техника (см. § 6.4).

В данной главе будет затронута еще одна важная тема. Хотя для проведения эксперимента необходима модель объекта, с которой мы экспериментируем, а для уточнения модели объекта необходим эксперимент, здесь нет порочного круга: после завершения очередного цикла следующий начинается с новой, измененной модели. Ситуация напоминает не вращающееся колесо, а катящийся снежный ком: с каждым оборотом он становится больше, весомее. Вопрос о том, как именно происходит переход от модели “черного ящика” к модели “белого ящика” при использовании результатов измерений, мы обсудим в § 6.5.

Подведем итог В современное понятие измерений включаются: пассивные наблюдения и активные эксперименты; количественные и качественные данные; точные, расплывчатые и зашумленные результаты опыта.

Summary The current understanding of measurement includes the following: both passive obser­vations and active experiments; either quan­titative or qualitative data; exact and fuzzy and noisy experimental results.

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ШКАЛЫ

Измерение – это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие определенное обозначение: число, номер или символ. Такое соответствие обеспечивает то, что результаты измерений содержат информацию о наблюдавшемся объекте, количество же информации зависит от степени полноты этого соответствия и разнообразия вариантов (см. § 5.7) . Нужная нам информация получается из результатов измерения с помощью их преобразований, или, как еще говорят, с помощью обработки экспериментальных данных.

Совершенно ясно, что чем теснее соответствие между состояниями и их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате обработки данных. Менее очевидно, что степень этого соответствия зависит не только от организации измерений (т.е. от экспериментатора), но и от природы исследуемого явления, и что сама степень соответствия в свою очередь определяет допустимые (и недопустимые) способы обработки данных.

В данном параграфе мы будем рассматривать только такие объекты, про любые два состояния которых можно сказать, различимы они или нет, и только такие алгоритмы измерения, которые различным состояниям ставят в соответствие разные обозначения, а неразличимым состояниям – одинаковые обозначения* . Это означает, что как состояния объекта, так и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам эквивалентности:

1⁰. А = A (рефлексивность).

2⁰. Если А = В, то В = А (симметричность).

3⁰. Если А = В и В = С, то А = С (транзитивность).

Здесь символ = обозначает отношение эквивалентности; в том случае, когда А и В – числа, он означает их равенство.

ШКАЛЫ НАИМЕНОВАНИЙ

Предположим, что число различимых состояний (математический термин – число классов эквивалентности) конечно. Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие обозначение, отличное от обозначений других классов. Теперь измерение будет состоять в том, чтобы, проведя эксперимент над объектом, определить принадлежность результата к тому или иному классу эквивалентности и записать это с помощью символа, обозначающего данный класс. Такое измерение называется измерением в шкале наименований (иногда эту шкалу называ-
ют также номинальной или классификационной); указанное множество
символов и образует шкалу.

Особенности шкалы наименований рассмотрим на примерах. Естественнее всего использовать шкалу наименований в тех случаях, когда классифицируются дискретные по своей природе явления (например, различные объекты). Для обозначения классов могут быть использованы как слова естественного языка (например, географические названия, собственные имена людей и т.д.), произвольные символы (гербы и флаги государств, эмблемы родов войск, всевозможные значки и т.д.), номера (регистрационные номера автомобилей, официальных документов, номера на майках спортсменов), так и их различные комбинации (например, почтовые адреса, экслибрисы личных библиотек, печати и пр.) Все эти обозначения эквивалентны простой нумерации (в некоторых странах человек при рождении получает номер, под которым он фигурирует в государственных информационных системах всю жизнь), но на практике часто предпочитают другие обозначения (вообразите, что вместо имен и фамилий ваших друзей и знакомых вы должны будете использовать номера!).

Поскольку присваиваемое классу объектов обозначение в принципе произвольно (хотя после присвоения и однозначно), эту свободу в выборе можно использовать для удобства. Так, при большом и/или нефиксированном числе классов их конкретизация упрощается и облегчается, если обозначения вводятся иерархически. Примером могут служить почтовые адреса: страна – территориальная административная единица (республика, штат, кантон, графство, область) – населенный пункт – улица – дом – квартира – адресат. Другой пример – автомо­бильные номера: в их символике есть обозначение как территории, так и принадлежности машины (государственная или личная).

Необходимость классификации возникает и в тех случаях, когда классифицируемые состояния образуют непрерывное множество. Задача сводится к предыдущей, если все множество разбить на конечное число подмножеств, искусственно образуя тем самым классы эквивалентности. Теперь принадлежность состояния к какому-либо классу снова можно регистрировать в шкале наименований. Однако условность введенных классов (не их шкальных обозначений, а самих классов) рано или поздно проявится на практике. Например, возникают трудности точного перевода с одного языка на другой при описании цветовых оттенков: в английском языке голубой, лазоревый и синий цвета не различаются; не исключено, что англичане иначе видят мир (например, в одном английском толковом словаре слово “синий” объясняется как “цвет чистого неба, древесного дыма, снятого молока, свинца”, а в другом – как “цвет неба или моря, а также вещей намного бледнее или темнее, как дым, удаленные холмы, лунный свет, синяк”).

Аналогичная ситуация имеет место в профессиональных языках. Вспомним примеры с наименованиями коров у африканского племени масаев, различных состояний снега у эвенков (см. § 2.3).

Названия болезней также образуют шкалу наименований. Психиатр, ставя больному диагноз “шизофрения”, “паранойя”, “мани­акаль­ная депрессия” или “психоневроз”, использует номинальную шкалу; и все же иногда врачи не зря вспоминают, что “нужно лечить больного, а не болезнь”: название болезни лишь обозначает класс, внутри которого на самом деле имеются различия, так как эквивалентность внутри класса носит условный характер.

Перейдем теперь к вопросу о допустимых операциях над данными, выраженными в номинальной шкале. Подчеркнем еще раз, что обозначения классов – это только символы, даже если для этого использованы номера. Номера лишь внешне выглядят как числа, но на самом деле числами не являются. Если у одного спортсмена на спине номер 4, а другого – 8, то никаких других выводов, кроме того, что это разные участники соревнований, делать нельзя: так, нельзя сказать, что второй “в два раза лучше” или что у одного из них форма новее. С номерами нельзя обращаться как с числами, за исключением определения их равенства или неравенства: только эти отношения определены между элементами номинальной шкалы (см. приведенные выше аксиомы 1⁰ – 3⁰).

Поэтому при обработке экспериментальных данных, зафиксированных в номинальной шкале, непосредственно с самими данными можно выполнять только операцию проверки их совпадения или несовпадения. Изобразим эту операцию с помощью символа Кронекера: ?_ij = {1: х_i = х_j; 0: х_i ? х_j}, где х_i и х_j – записи разных измерений.

С результатами этой операции можно выполнять более сложные преобразования: считать количества совпадений (например, число наблюдений k-го класса равно , n – общее число наблюдений), вычислять относительные частоты классов (например, частота k-го класса есть р_k = n_k/n), сравнивать эти частоты между собой (находя, например, моду – номер наиболее часто встречающегося класса ), выполнять различные статистические процедуры, строго следя, однако, чтобы в этих процедурах с исходными данными не выполнялось ничего, кроме операции проверки их на совпадение (например, можно использовать c² -тест, другие тесты на относительных частотах, коэффициент согласия и т.д.).

В тех случаях, когда наблюдаемый (измеряемый) признак состояния имеет природу, не только позволяющую отождествить состояния с одним из классов эквивалентности, но и дающую возможность в каком-то отношении сравнивать разные классы, для измерений можно выбрать более сильную шкалу, чем номинальная. Если же не воспользоваться этим, то мы откажемся от части полезной информации. Однако усиление измерительной шкалы зависит от того, какие именно отношения между классами существуют в действительности. Это и явилось причиной появления измерительных шкал разной силы.

ПОРЯДКОВЫЕ ШКАЛЫ

Следующей по силе за номинальной шкалой является порядковая шкала (используется также название ранговая шкала). Этот класс шкал появляется, если кроме аксиом тождества 1⁰ – 3⁰ классы удовлетворяют следующим аксиомам упорядоченности:

4⁰. Если А ¹ В, то либо A > B, либо В > А.

5⁰. Если А > В и В > С, то А > С.

Обозначив такие классы символами и установив между этими символами те же отношения порядка, мы получим шкалу совершенного порядка. Примерами применения такой шкалы яв­ляются нумерация очередности, воинские звания, призовые места в конкурсе.

RANK, NUMBER, POINT, SCORE балл MEASUREMENT измерение INTERVAL интервал RATIO отношение (чисел) NOMINAL SCALE шкала наименований     Измерение – операция, ставящая наблюдаемому явлению в соответствие один из элементов подходящей измерительной шкалы. Измерительная шкала может иметь разную силу в зависимости от того, являются ли ее элементы символами, номерами или числами. Измерительную шкалу следует выбирать максимально сильной, однако сила шкалы должна соответство-вать природе наблюдаемого явления и не быть завышенной.

Иногда оказывается, что не каждую пару классов можно упорядочить по предпочтению: некоторые пары считаются равными. В таком случае аксиомы 4⁰ и 5⁰ видоизменяются.

4'. Либо А £ В, либо А ³ В.

5'. Если А ³ В и В ³ С, то А ³ С.

Шкала, соответствующая аксиомам 4' и 5', называется шкалой квазипорядка. Примером шкалы квазипорядка служит упорядочение по степени родства с конкретным лицом (мать = отец > сын = дочь, дядя = те­тя < брат = сестра и т.п.).

Иная ситуация возникает, когда имеются пары классов, несравнимые между собой, т.е. ни А £ В, ни В £ А (это отличается от условия квазипорядка, когда одновременно А ³ В и В ³ А, т.е. А = В) . В таком случае говорят о шкале частичного порядка. Шкалы частичного порядка часто возникают в социологических исследованиях субъективных предпочтений. Например, при изучении покупательского спроса субъект часто не в состоянии оценить, какой именно из двух разнородных товаров ему больше нравится (например, клетчатые носки или фруктовые консервы, велосипед или магнитофон и т.д.); затрудняется человек и упорядочить по предпочтению любимые занятия (чтение литературы, плавание, вкусная еда, слушание музыки...).

Как видим, порядковые шкалы могут быть различными. В зависимости от того, каким аксиомам упорядоченности отвечают рассматриваемые объекты, мы должны пользоваться либо шкалой совершенного, либо шкалой частичного порядка. Однако разнообразие порядковых шкал этим не исчерпывается. Иногда число градаций в шкале задается заранее, и эксперимент лишь определяет, к какому из упорядоченных классов относится наблюдаемый объект (например, оценка на экзамене, сила землетрясения, воинское звание и т.п.) . В других случаях эталонные классы отсутствуют, а упорядочение проводится непосредственным попарным сравнением самих рассматриваемых объектов (например, выстраивание солдат в шеренгу по росту, определение мест в результате спортивных соревнований, музыкальных конкурсов и т. д.).

Очень важно обратить внимание на то, что отношение порядка ничего не говорит о “дистанциях” между сравниваемыми классами или объектами. Это придает порядковым шкалам характерную особенность: наблюдения, зафиксированные в таких шкалах, не являются числами. Даже если экспериментальные данные представлены цифрами (как школьные баллы, номера мест, занятых в соревновании, и т.п.), эти данные нельзя рассматривать как числа. Над ними нельзя производить арифметические операции и вообще любые действия, результат которых изменится при преобразованиях шкалы, не нарушающих порядка. Например, нельзя вычислять среднее арифметическое порядковых измерений (х₁, х₂, ..., х_i, ..., х_n), т.е. величину , так как переход к монотонно преобразованной шкале х' = f(х) (сохраняющей данную упорядоченность) после усреднения даст величину . Между тем не все это знают; ярким примером такого широко распространенного заблуждения являлось использование в школах и вузах в недавнем прошлом (а кое-где продолжающееся и сейчас) “средних баллов”. Правда, сразу было замечено, что средний балл, худо-бедно “работавший” в руках одного учителя, в рамках одного класса переставал играть роль объективного показателя при сравнении выпускников разных школ. Во всяком случае непродуманно введенный ранее учет средних школьных баллов при проведении конкурса для поступления в высшие учебные заведения был недавно отменен.

Допустимые операции над порядковыми наблюдениями вытекают из отношений, определяющих эти шкалы, т.е. из отношений эквивалентности и предпочтения. Допустимые операции представляют собой только операции проверки выполнимости этих отношений. Операция проверки принадлежности наблюдения к заданному классу (или неразличимости двух наблюдений) была уже введена выше, при рассмотрении номинальной шкалы, как символ Кронекера ?_ij, где один индекс – номер наблюдения, а другой – номер класса или другого наблюдения (в зависимости от типа порядковой шкалы). Операция проверки отношения предпочтения тоже может быть формализована. Введем индикаторную функцию С_ij предпочтения для упорядоченной* пары индексов (i, j), а именно: С_ij = { 1, если объект с индексом i предпочтительнее объекта с индексом j или эквивалентен ему; 0, если верно обратное предпочтение }. В результате по значению бинарной функции С_ij мы можем однозначно судить о порядке предъявленных объектов. Как и ранее, в зависимости от типа шкалы, один объект – данное наблюдение, а другой – либо некоторый класс, либо другое наблюдение.

Итак, непосредственно над порядковыми данными можно производить только операции по определению величин ?_ij и С_ij. Результаты этих операций являются двоичными числами; над ними уже можно производить арифметические и логические операции. Например, если i и j – номера наблюдений в совокупности данных (х₁, ..., х_i, ..., х_n), то мы можем установить номер i-го наблюдения в упорядоченном ряду: . Этот номер называется рангом i-го объекта; отсюда про-
исходит специальное название для данного типа порядковых шкал –
ранговые. Если имеет место квазипорядок, то часть наблюдений мо-
жет совпадать (в статистике такая группа наблюдений называется
связкой), и все члены связки получают одинаковый (старший для
них) ранг. Когда это неудобно, прибегают либо к присвоению ранга, среднего для данной связки (мидранга), либо присваивают ранги
от младшего до старшего случайным образом.

С числами ?_ij и С_ij можно выполнять и другие необходимые операции. Кроме нахождения частот и мод (как и для номинальной шкалы), появляется возможность определить выборочную медиану (т.е. наблюдение с рангом R_i, ближайшим к числу n/2); можно разбить всю выборку на части в любой пропорции, находя выборочные квантили любого уровня р, 0 < р < 1 (т.е. наблюдения с рангом R_i, ближайшим к величине nр); можно определить коэффициенты ранговой корреляции между двумя сериями порядковых наблюдений (r_s Спирмэна, ? Кендалла); строить другие статистические процедуры.

Подчеркнем еще раз, что даже в тех случаях, когда состояния, которые допускают только порядковые сравнения, в эксперименте измеряются через величины, связанные с ними косвенно, но фиксируемые в числовых шкалах, эти измерения все равно остаются измерениями в порядковой шкале. Пфанцагль [6] приводит наглядные примеры, иллюстрирующие сказанное.

Первый пример взят из медицины. Известно, что за показатель интенсивности патологического процесса принимается скорость выпадения осадка при добавлении в пробирку с кровью цитрата натрия; скорость осаждения измеряется в миллиметрах в единицу времени. Идея такого измерения основана на том, что увеличение интенсивности патологического процесса приводит к повышению содержания глобулина, что увеличивает скорость выпадения осадка. Поэтому высота слоя осадка за данный интервал времени монотонно связана с интенсивностью исследуемого патологического процесса. Функциональный вид этой связи неизвестен, для разных лиц различен и нелинеен: изменение количества цитрата натрия или времени осаждения приводит к непропорциональным изменениям высоты осадка. Теперь предположим, что для одного больного лекарство А привело к уменьшению осадка с 75 до 60 мм, а для другого лекарство Б – с 65 до 55 мм. Отсюда нельзя заключать, что лекарство А эффективнее, так как оно привело к уменьшению осадка на 15 мм, а лекарство Б – только на 10!

В качестве второго примера рассматривается испытание умственных способностей, при котором измеряется время, затрачиваемое испытуемым на решение тестовой задачи. В таких экспериментах время хотя и измеряется в числовой шкале, но как мера интеллекта принадлежит порядковой шкале.

Выше мы не без умысла к названию порядковой шкалы присоединяли слова “в строгом смысле”. Суть состоит в том, что порядковые в строгом смысле шкалы определяются только для заданного набора сравниваемых объектов, у этих шкал нет общепринятого, а тем более абсолютного стандарта. Поэтому при определенных условиях правомерно выражение “первый в мире, второй в Европе” – просто чемпион мира занял второе место на всеевропейских соревнованиях.

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ПОРЯДКОВЫЕ ШКАЛЫ

По-видимому, опыт работы с сильными числовыми шкалами и желание уменьшить относительность порядковых шкал, придать им хотя бы внешнюю независимость от измеряемых величин побуждают исследователей к различным модификациям, придающим порядковым шкалам некоторое (чаще всего кажущееся) усиление. Другая важная причина попыток усиления шкалы состоит в том, что многие измеряемые в порядковых (принципиально дискретных) шкалах величины имеют действительный или мыслимый непрерывный характер: сила ветра или землетрясения, твердость вещества, глубина и прочность знаний, овладение навыками и т.п. Сама возможность введения между любыми двумя шкальными значениями третьего способствует тому, чтобы попытаться усилить шкалу.

Все это вместе взятое привело к появлению и использованию на практике ряда порядковых шкал, но не в таком “строгом смысле”, как те, о которых мы говорили выше. При этом иногда с полученными данными начинают обращаться как с числами, даже если произведенная модификация не выводит шкалу из класса порядковых. Это сопряжено с ошибками и неправильными решениями. Рассмотрим некоторые из известных модификаций.

Шкала твердости по Моосу. Из двух минералов тверже тот, который оставляет на другом царапины или вмятины при достаточно сильном соприкосновении. Отношение “А тверже В” – типичное отношение порядка. В 1811 г. немецкий минералог Ф. Моос предложил установить стандартную шкалу твердости, постулируя только десять ее градаций. За эталоны приняты следующие минералы с возрастающей твердостью: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз. Шкала Мооса устанавливает искусственно квазипорядок, так как промежуточных единиц градаций твердости эта шкала не имеет. Градации твердости все равно не носят числового характера: нельзя говорить ни что алмаз в два раза тверже апатита, ни что разница в твердостях флюорита и гипса такая же, как у корунда и кварца; измерения твердости методом царапания не дают оснований для оправдания таких утверждений.

Шкала силы ветра по Бофорту. В 1806 г. английский гидрограф и кар­тограф адмирал Ф. Бофорт предложил балльную шкалу силы ветра, определяя ее по характеру волнения моря: 0 – штиль (безветрие), 4 – умеренный ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган. Кроме штиля, градации силы ветра имеют условный, качественный характер.

Шкала магнитуд землетрясений по Рихтеру. В 1935 г. американский сейсмолог Ч. Рихтер предложил 12-балльную шкалу для оценки энергии сейсмических волн в зависимости от последствий прохождения их по данной территории. Затем он развил метод оценки силы землетрясения в эпицентре по его магнитуде на поверхности земли и глубине очага.

Балльные шкалы оценки знаний учащихся. Слушая ответы учащихся или сравнивая их письменные работы, опытный преподаватель может обнаружить разницу между ними и установить, чьи ответы лучше; это типичное отношение порядка. Методом сравнения можно определить, кто в классе лучше других знает данный предмет; сложнее, но иногда возможно (это зависит от состава класса) определить лучшего ученика в классе. Сравнение старшеклассника с младшеклассником по степени овладения знаниями проблематично.