Логико-математические аспекты структур

26. Все только что упомянутые «конкретные» операциональные структуры предполагают построение определенных количеств: величины классов для классификации (что объясняет трудность квалификации включений классов), размера различий для сериации, количественных сохранений и т. п.. Но даже до построения этих количественных структур на дооперациональных уровнях могут наблюдаться определенные частичные качественные структуры, которые имеют большой интерес, потому что составляют, так сказать, первую половину логики обратимых операций. Это ориентированные функции (однонаправленные функции, не имеющие инверсий, которые пред-

полагали бы обратимость) и качественные тождественности (см. п. 10).

Функции, как мы помним, являются «чертежами» в математическом смысле, которые не имеют инверсий, потому что, как мы видели, психологически связаны с целенаправленными схемами действий. Предположим, например, что экспериментатор держит в руках один конец веревки (в), перекинутой через блок, а к другому ее концу подвешен груз, так что одна часть веревки (а) находится под прямым углом к другой ее части (а¹). Все дети в возрасте от 4 до 7 лет понимают, что если потянуть за веревку, то одна ее часть (а) станет короче, а другая часть (а¹) длиннее. Но они все еще не обладают понятием сохранения длины всей веревки (в) (в = а¹ + а), и то, что они осуществляют, это не квалифицированная операция, а просто инверсное или ординальное приравнивание (длиннее = дальше).

Сходным образом в случае тождества, как мы видели, все дети (или почти все) соглашаются, что, когда пластилиновый шарик раскатывается в колбаску, он все равно остается «одним и тем же» куском пластилина, даже если количество его и не сохраняется. Подобные представления о тождественности приобретаются очень рано, и упомянутая нами в п. 2 схема постоянного объекта — одна из них. Брунер в своей книге рассматривает их как источник сохранения количеств. В известном смысле это верно (они составляют необходимое, но недостаточное условие), но при этом остается центральное различие: качества (на которых основывается качественная тождественность) могут быть установлены перцептивно, тогда как количества включают длительно вырабатываемую структуру, сложность которой мы только что видели (пп. 23—26). В действительности функции и качественная тождественность составляют только дооперациональную и качественную половину логики, они ведут к логике обратимых и количественных соответствий, но недостаточно могущественны, чтобы отвечать за нее.

27. Этот количественный аспект конкретных операций в противоположность качественной природе до-операциональных функций и тождественностей открывается, в частности, в построении (в возрасте 7—8 лет) операций, связанных с числом и измерением,

частично изоморфных друг другу, но имеющих совершенно различное содержание. Построение количественных чисел не может объясняться просто установлением взаимнооднозначных соответствий между эквивалентными классами, как считали Рассел и Уайтхед, потому что использованные ими соответствия, отвлеченные от качеств (в противоположность качественным соответствиям между индивидуальными объектами, обладающими одними и теми же свойствами), имплицитно вводят единицу и число, что приводит к порочному кругу. В действительности, когда мы имеем дело с ограниченными совокупностями, количественные числа не могут быть диссоциированы от порядковых, подчиняясь трем следующим условиям.

а. Абстракция от качеств, делающая все отдельные объекты эквивалентными, и поэтому 1 = 1 = 1.

о. Упорядочение: 1—>1—>1..., которое необходимо для различения объектов друг от друга, иначе было бы справедливо равенство 1 + 1 = 1.

с. Включение (1) в (1 + 1), затем (1 + 1) в (1 + 1 + 1) и т. п.

Поэтому целые числа являются результатом синтеза упорядочивания (сериация) и включения (классификация), которые необходимы для абстрагирования от качеств. Отсюда целые числа строятся из чисто логических элементов (сериации и классификации), но последние реорганизуются, составляя новый синтез, допускающий квантификацию посредством процесса итерации: 1 + 1 = 2 и т. п.

Сходным образом измерение континуума (например, линии, поверхности) предполагает: (а) его разбиение на сегменты, один из которых затем выбирается в качестве единицы и приравнивается к остальным посредством конгруэнтности: а=а=а..., (Ь) определенное упорядочение этих единиц: а —> а—> а... и т. п. и (с) приведение единиц в виде аддитивных композиций: а в (а+а) и (а + а) в (а+а+а). Таким образом, данный синтез разбиения и включения сегментов и упорядочения изоморфен синтезу упорядочения и включения, характеризующему число, что дает возможность использовать число для измерения.

Поэтому ясно, что, не прибегая ни к чему другому, кроме синтеза элементарных «группировок» включения и порядка, субъект достигнет числовой или метри-

ческой квантификации, мощь которой далеко превосходит элементарные квантификации (отношения между частью и целым) классификаций или сериации, основанных на различениях, оцениваемых просто как «больше» или «меньше».

28. За конкретно-операциональными структурами, упомянутыми в п. 23. в возрасте 11—15 лет происходит построение двух новых структур, делающих возможной манипуляцию такими пропозициональными операциями, как импликация (pכq), несовместимость (p/q] и дизъюнкция (pVg) и т. п. Такими новыми структурами являются «группа четырех» и комбинаторные операции.

Комбинаторика на этой стадии состоит в классификации всех возможных классификаций (так же как перестановки являются сериацией сериации) аа, ab, ас, be, bb, се и т. п. и поэтому составляют не полностью новую операцию, но операцию наддругими операциями. Сходным образом группа четырех INRC⁷ является резуль-

⁷ Группа INRC — это группа операций, которые выполняются на операциях или элементах какой-либо другой алгебраической структуры и имеют инволютивную операцию (операцию, являющуюся своей собственной инверсией: N²=1). Примером инволютивной операции является закон двойственности (де Моргана) в булевой алгебре , который мы можем записать: (N обозначает отрицание). Если мы определим С (коррелятивность) как правило, которое действует на отношениях, изменяя на и наоборот, и R (симметрию) как правило, которое действует по отношению к знакам истинности, меняя р на и обратно, то, используя последовательно С и R (скажем, на ), мы получим тот же результат, что и при использовании N. Следующая диаграмма иллюстрирует отношения между N, R и С, применяемыми в :

Тождественность / может быть определена как правило, которое изменяет любую формулу в самое себя, и посредством «прогона» по диаграмме легко может быть проверена последовательность следующих свойств:

a. RC=N, RN=C, CN=R, и все пары обладают коммутативностью — RC=CR, etc.

татом объединения а целое инверсий N и реципрокностей R (поэтому появляется инверсия реципрокности С (NR=C), также как и тождественная операция 1 = NRC. Но инверсия уже существовала в группировках классов в форме А — А = 0, а реципрокность — в группировках отношений в виде А=В, откуда В=А. Группа INCR, таким образом, вновь является операциональной структурой, имеющей отношение к предшествовавшим операциям. Что до пропозициональных операций pכq и т. п., которые включают как комбинаторику, так и группу INRC, то они новы по форме, но по своему содержанию относятся к связям между классами, отношениями или числами, и поэтому опыты являются операциями над операциями. Вообще операции, принадлежащие третьему периоду развития (см. п. 10, период С для возраста 11 —12

b. C²=N²—R²=I (все трансформации являются инволютивными, т. е. для каждого элемента определена инверсия).

c. RNC=I.

На основании этого можно показать, что группа INRC вместе с операцией композиции (понимаемой в обычном смысле слова как применение трансформации к результату другой) является группой четырех элементов, не составляющей кольцо (известной как «группа четырех» Клейна).

Группа 1NRC также может быть определена на физической системе, имеющей соответствующую структуру (т. е. инволютивную трансформацию, которая может быть «разложена» на две другие инволютивные трансформации). Один из экспериментов Пиаже на системе с двойным отсчетом включал ситуацию: на маленькой дощечке находилась улитка, которая могла ползти слева направо и обратно, причем саму дощечку также можно было перемещать в обе стороны вдоль стола. Можно определить С как правило, обращающее перемещение улитки: CfZ, Z)=(R, Z), где (R, Z) означает, что улитка движется вправо, а дощечка — влево (первая координата). Тогда мы можем определить R как правило, обращающее перемещение вдоль второй координаты, например R(Z, Z)=(Z, R) (обращение перемещения дощечки). Диаграмма имеет ту же структуру, что и предыдущая, и N (N обращает перемещения по обеим координатам) будет являться результатом

лет), уходят корнями в конкретные операции (подпериоды между 7 и 11 годами), обогащая их, точно так же, как источник конкретных операций лежит в сенсомоторных схемах (период а, до 2 лет), которые они также значительно изменяют и обогащают. Поэтому последовательный характер стадий (который мы уже с достаточной силой подчеркнули в п. 10) с точки зрения построения структур соответствует механизму, который необходимо проанализировать, потому что он слишком важен для того, чтобы просто назвать его секвенциальным, или прогрессирующим, уравновешиванием. Сейчас необходимо понять, как происходят построения, приводящие к возникновению чего-то нового (что является хорошо известной проблемой развития математических структур).

29. Мы видели (п. 21, с), что уже до уровня построения логико-математических операций и поэтому до возникновения дедуктивных систем можно было говорить о логико-математических экспериментах, извлекающих информацию из свойств действия, выполненных на объектах, а не из самих объектов, что совершенно различные вещи. Поэтому в противоположность собственно абстракции в данном случае мы имеем новый тип абстракции, которую можно назвать рефлексивной и которая является ключом к интересующей нас проблеме. Чтобы абстрагировать свойство из действия или операции, недостаточно просто отделить его от тех свойств, которые в дальнейшем не будут приниматься во внимание (например, выделить «форму» и отбросить «содержание»); свойство или форма, выделенные таким образом, должны быть дополнительно транспонированы куда-либо, т. е. перенесены в другой план действия или операции. В случае простой абстракции такой проблемы не возникает, поскольку тогда мы имеем дело со свойством объекта, ассимилируемым субъектом. Однако в случае рефлексивной абстракции, когда субъект извлекает свойство или форму из действий (операций) плана Р , он должен затем перенести их в более высокий план Р , что является их отражением (рефлексом) в квазифизическом смысле (как при отражении луча света). Но для того чтобы данная форма или свойство были ассимилированы в новом плане Р₂, они должны быть реконструированы в этом новом плане и подвер-7/0 гнуты новому мыслительному процессу, который будет

теперь означать «отражение» (рефлексию) в когнитивном смысле. Поэтому «рефлективную абстракцию» необходимо понимать в обоих смыслах.

Но если для ассимиляции свойств или форм, абстрагированных в плане P₁ необходим новый когнитивный процесс в плане Р₂ то это означает, что новые операции или действия плана Р₂ будут добавлены к операциям или действиям плана P₁, из которого была абстрагирована данная информация. Следовательно, рефлексивная абстракция по необходимости является конструктивной и обогащающей новыми элементами структуры, выведенные из плана P₁, что равноценно построению новых структур. Это объясняет, почему конкретные операции, основанные на сенсомоторных схемах, богаче последних и почему то же самое справедливо для пропозициональных, или формальных операций, которые сами основываются на конкретных операциях. Как операции над операциями, они добавляют новые способы композиции (комбинаторику и т. п.).

Но рефлексивная абстракция является общим процессом построения в математике: например, она служила для выделения алгебры как группы операций над операциями арифметики. Таким же образом Кантор посторил трансфинитную арифметику: он поставил во взаимооднозначное соответствие последовательности 1, 2, 3, 4... и 2, 4, 6, 8. Это произвело новое число (N), выражающее «мощность (число) исчисляемого», но не принадлежащее никакой из последовательностей. Современная теория функций таким же образом строит «морфизмы» и т. п., и то же самое справедливо в отношении «материнских структур» Бурбаки.

Замечательно то, что процесс построения структур, который мы наблюдали в последовательных стадиях развития ребенка и в механизмах уравновешивания посредством саморегуляции (что имеет результатом саморегуляцию с помощью обратной связи высшего порядка, т. е. обратимой операции), совпадает с постоянным конструирующим процессом, используемым математикой в ее бесконечном продуктивном развитии. В этом состоит решение проблемы развития, несводимого ни к эмпирическому процессу открытия «уже готового» внешнего мира, ни к преформизму или предетерминизму (a priori), также означающим, что все «уже готово» от начала. Мы считаем, что истина лежит между двумя

этими крайностями, т. е. в конструктивизме, выражающем тот способ, которым постоянно вырабатываются новые структуры.

Заключение: от психологии к генетической эпистемологии

30. Теория, которую мы только что в общих чертах изложили, является по необходимости междисциплинарной и включает в дополнение к психологическим элементам компоненты, относящиеся к биологии, социологии, лингвистике, логике и эпистемологии. Отношения с биологией очевидны, поскольку развитие когнитивных функций является частью эпигенеза, ведущего от первых эмбриологических стадий к состоянию взрослости. От биологии мы в основном сохранили три следующих пункта.

а. Не может быть никакой трансформации организма или поведения без эндогенных организующих факторов, поскольку фенотип, хотя и строится во взаимодействии с окружающей средой, является «ответом» генома (или ответом генетического фонда целой популяции, причем индивидуальный геном будет являться «срезом» этого фонда) на «стрессы» окружающей среды.

в. И наоборот, не существует никакой эпигенетической или фенотипической трансформации, не зависящей от взаимодействия с влияниями внешней среды.

с. Эти взаимодействия включают непрерывный процесс уравновешивания или саморегуляции, примером которого является уравновешивание между ассимиляцией и аккомодацией. Он также проявляется в сенсомоторных, репрезентативных и дооперациональных саморегуляциях, даже в самих операциях, поскольку последние — антиципирующие саморегуляции и коррекции ошибок, которые не полагаются более на обратную связь, исправляющую уже совершенную ошибку.

Отношения с социологией также очевидны: даже если источник когнитивных структур составляют общие координации действий, они являются в такой же степени межличностными или социальными, как и индивидуальными, поскольку координация действий индивидов подчиняется тем же законам, что и интраиндивидуальная координация. Это несправедливо по отношению к социальным процессам, включающим принуждение или авторитарность, которые ведут к социоцентризму, имеющему близкое родство с эгоцен-

тризмом, но справедливо для ситуаций сотрудничества (cooperation), являющегося наделе «со-трудничеством» (co-operations). Одним из фундаментальных процессов познания является децентрация субъективных иллюзий (см. п. 8), и этот процесс имеет как социальные, или межличностные, так и рациональные измерения.

Установление отношений с лингвистикой имело бы мало смысла, если бы лингвисты продолжали защищать, подобно Блюмфельду, позиции наивного антиментализма. Но мы можем одобрить позицию «субъективного бихевиоризма» (формулировка Миллера), а собственно в лингвистике — современные работы Хомского и его группы по трансформационным грамматикам, которые не очень далеки от нашего психонетического конструктивизма и операциональных перспектив. Но Хомский верит в наследственную обусловленность своих лингвистических структур, в то время как возможно будет показать, что всем необходимым и достаточным условиям для построения таких базисных единиц, на которых основываются лингвистические структуры, удовлетворяет развитие сенсо-моторных схем (над чем работает Синклер).

Отношения с логикой сложнее. Современная символическая логика является «логикой без субъекта», тогда как психологически не существует «субъекта без логики». Нельзя отрицать, что логика субъекта бедна «и, в частности, структуры группировок малоинтересны в алгебраическом смысле, хотя, как кажется, связанные с ними элементарные структуры начинают вызывать у математиков интерес. Все же необходимо отметить, что в ходе изучения логики субъекта нам удалось в 1949 г. сформулировать законы группы четырех пропорциональных операций INRC еще до того, как ее начала исследовать логика. С другой стороны, текущие работы о пределах формализации, начатые теоремами Гёделя, будут с большей или .меньшей необходимостью ориентировать логику по направлению к своего рода конструктивизму, и в этом свете параллель с психогенетической конструкцией приобретает определенный интерес. Вообще говоря, логика является аксиоматической системой и применительно к нашему предмету мы должны спросить: аксиоматикой чего? Определенно, это не аксиоматика сознательных процессов мышления субъекта, поскольку они непоследовательны и незавершенны. Но за сознательным мышлением находятся «ес-

тественные» операторные структуры, и очевидно, что, хотя можно бесконечно превосходить их (поскольку продуктивность аксиоматизации формально не имеет предела), они составляют, основу логической аксиоматизации посредством процесса «рефлексивной абстракции».

31. Наконец, остается большая проблема отношений между теорией развития когнитивных функций и эпистемологией. Если знать скорее статистическую, чем психогенетическую точку зрения, и изучать, например, только интеллект взрослого или испытуемых, находящихся на одном уровне, то легко отделить психологические проблемы (как функционирует интеллект и каковы его «рабочие характеристики») от эпистемологических (каковы отношения между субъектом и объектами и достаточно ли у первого знаний для адекватного постижения последний). Но если занять психологическую точку зрения, то ситуация меняется, так как предметом изучения становится формирование или развитие знания, а для этого важно рассмотреть роли объектов и деятельности субъекта — вопросы, с необходимостью поднимающие все проблемы эпистемологии. Наделе те, кто приписывает формирование знания исключительно опыту в смысле физического опыта, и те, кто вводит деятельность субъекта в смысле необходимой организации, ориентируются на разные эпистемологии. Различать, как мы делали (п. 21), два типа опыта: один — физический, с абстракцией, начинающейся от объектов, и второй — логико-математический с рефлексивной абстракцией — значит осуществлять такой психологический анализ, эпистемологические следствия которого очевидны.

Есть авторы, не оценивающие важность взаимосвязей между генетической психологией и эпистемологией, но это означает только то, что они выбирают одну эпистемологию среди многих возможных и верят, что истинность их выбора очевидна. Например, когда Брунер пытается объяснить сохранение посредством тождеств и символизации, основанной на языке и воображении, считая, что ему удается при этом избежать операций и всей эпистемологии, наделе он просто становится наточку зрения эмпирической эпистемологии. В то же самое время он прибегает к помощи операции тождественности, не замечая при этом, что она предполагает и другие операции. Давая сохранению более

операциональное объяснение и предполагая, что для построения количеств требуется сложная конструкция, а не просто перцептивная деятельность, мы de facto перемещаем свою точку зрения от эмпиризма в направлении конструктивизма, что является другим видом эпистемологии; более того, такая эпистемология ближе к современным тенденциям биологии, подчеркивающим необходимость конструктивных авторегуляций.

Сама эпистемология также может значительно различаться в соответствии с тем, занимается ли исследованием статистическая или же историческая и генетическая точка зрения (последняя является ее естественной внутренней тенденций). Эпистемология, задавшаяся вопросом, что есть знание вообще, считает себя способной построить свои абстракция без обращений к психологии, потому что фактически, когда знание достигнуто, субъект исчезает со сцены. Но на деле и это является большой иллюзией, поскольку вся эпистемология, даже когда пытается свести к минимуму деятельность субъекта, имплицитно прибегает к психологическим интерпретациям. Например, логический эмпиризм пытается свести физическое знание к перцептивным состояниям, а логико-математическое знание — к законам идеального языка (со своим синтаксисом, семантикой и прагматикой, но без всякого упоминания о трансформирующих действиях). К тому же вот две в высшей степени противоречащие этому гипотезы: первая — физический опыт зиждется на действиях, а не только на восприятиях, и всегда предполагает логико-математический каркас, выведенный из общей координации действий (такого вида, что операционализм Бриджмена должен быть дополнен операционализмом Пиаже!). Вторая — логико-математическое знание не является тавтологией, но составляет структурную организацию, выведенную посредством рефлексивной абстракции из общей координации действий и операций субъекта.

Но, что еще важнее, эпистемология, основывающаяся на статистической точке зрения, невозможна и потому, что все научное знание, включая саму математику и логику, находится в вечном развитии (созидательный аспект которого стал очевиден после теорем Гёделя, показавшего невозможность завершенной теории и поэтому постоянную необходимость построения концепции еще более сильной: отсюда следует неизбежность

существования пределов формализации!). Как писал в 1910 г. Наторп: «Наука развивается постоянно. Продвижение вперед, система— это всегда... последовательность, факт науки может быть понят только как fieri. Только fieri есть факт. Все сущее (или объект), которое наука пытается зафиксировать, должно вновь растворяться в потоке становления. Только по отношению к высшим ступеням такого становления можно с правом сказать: «это есть» (факт). Поэтому то, что можно и должно искать, — это «законы данного процесса».

32. Эти неоспоримые заявления равносильны утверждению принципа нашей «генетической эпистемологии». Для того чтобы решить проблему, что такое знание или многообразие его форм, необходимо сформулировать следующие вопросы: как развивается знание? Посредством какого процесса осуществляется переход от знания, рассматриваемого как крайне недостаточное, к знанию более полному (с научной точки зрения!) ? Это как раз то, что хорошо понимали сторонники историко-критического метода (см. среди прочих работы Коуге я Kuhn). Эти критики, для того чтобы понять эпистемологическую природу понятия или структуры, сначала пытались рассмотреть, как они были сформированы.

Если занять скорее динамическую, чем статическую точку зрения, то становится невозможным сохранить традиционные барьеры между эпистемологией и психогенезом когнитивных функций. Если эпистемология определена как изучение формирования достоверного знания, то она предполагает вопросы достоверности знания, зависящие от логики и конкретных наук, а также вопросы факта существования знания, поскольку проблема предстает не только формально, но и реально: как реально возможна наука? Поэтому всякая разновидность эпистемология обязана обращаться к психологическим предположениям, что справедливо как для логического позитивизма (восприятие и язык), так и для Платона (реминисценция) или Гуссерля (интуиция, интенция, сигнификация и т. п.). Единственный остающийся вопрос: довольствоваться ли спекулятивной психологией или же полезнее обратиться к научной?!

Вот почему мы создали Международный центр генетической эпистемологии, чтобы здесь могли сотрудничать психологи, логики, кибернетики, эпистемологи,

лингвисты, математики, физики (в зависимости от рассматриваемых проблем).

Таким образом, мы изучили взаимосвязи логических структур с двоякой точки зрения — их психологического генеза и их формальной генеалогии, что позволило нам обнаружить определенную конвергенцию между двумя методами. Мы изучали проблему, иронически названную великим логиком Куайном «догмой» логического эмпиризма, — проблему, так сказать, абсолютного различения аналитического и синтетического, обнаружив, что все авторы, занимавшиеся данным вопросом, обращались к помощи фактического материала. Мы поставили данный материал под экспериментальный контроль и нашли, что между этими двумя видами отношении, некорректно рассматривавшимися как несводимые, существуют многочисленные промежуточные ступени.

Мы также изучали проблемы развития понятий числа, пространства, времени, скорости, функции, тождественности, и нам удалось получить по всем этим вопросам новый психогенетический материал, ведущий к эпистемологическим заключениям, равно отстоящим как от априорности, так и от эмпиризма, но предполагающим систематический конструктивизм. Что до эмпиризма, то мы, помимо прочего, анализировали условия, необходимые для адекватной интерпретации опыта, и в результате можем только привести слова одного математика-философа: «Эмпирическое изучение эмпирики изгоняет эмпиризм!» Мы выше упомянули некоторые наши исследования о роли научения (п. 14).

Одним словом, по нашему мнению, психологическая теория развития когнитивных функций устанавливает прямые, и даже совершенно интимные отношения между биологическими понятиями взаимодействия эндогенных факторов и окружающей среды и эпистемологическими понятиями необходимого взаимодействия субъекта и объектов. Синтез понятий структуры и генезиса, детерминирующий психогенетическое исследование, находит свое оправдание в биологических идеях авторегуляции и организации и затрагивает эпистемологический конструктивизм, который, как кажется, согласуется со всей современной научной работой и, в частности, с исследованиями, касающимися согласования логико-математических структур и физического опыта.