Практическая работа № 12 «Нахождение точечных оценок

Для генеральной средней (математического ожидания),

Генеральной дисперсии и генерального

среднеквадратического отклонения»

Основные понятия и определения.

Для получения точечной оценки существует много статистик, которые могут быть использованы в качестве оценок.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется случайная величина Хи нам известен ее закон распределения f = f(x, a), который содержит один неизвестный параметр а. Требуется на основании выборочных данных х1, х2, ..., хn найти подходящую оценку параметра а. Для решения этой задачи построим следующую математическую модель. Пусть Х1, Х2, ..., Хn – независимые случайные величины, которые принимают соответствующие выборочные значения (для данной выборки значения х1, х2, ..., хn) и пусть случайная величина получена на основе случайных величин Х1, Х2, ..., Хn, то есть Будем считать, как и ранее, что случайные величины Х1, Х2, ..., Хn имеют один и тот же закон распределения с плотностью распределения величины Х (генеральной совокупности)f(x). Тогда является случайной величиной, закон распределения которой зависит от n и от f(x). Для того чтобы оценка имела практическую ценность она должна обладать следующими свойствами.

1. Несмещенность оценки. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

В противном случае оценка называется смещенной и допускает систематическую ошибку.

2. Состоятельность оценки. Оценка называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки пстремится к параметру генеральной совокупности:

Это условие будет выполняться, если и оценка является несмещенной. Доказательство этого основано на неравенстве Чебышева.

3. Эффективность оценки. Если составлять множество несмещенных и состоятельных оценок, то эти оценки будут иметь разные дисперсии. Ясно, что, чем меньше будет дисперсия, тем меньше будет вероятность грубой ошибки при определении приближенного параметра генеральной совокупности. Поэтому нужно выбрать такую оценку, у которой дисперсия была бы минимальной:

Такая оценка называетсяэффективной.

Для простоты изложения формулы оценок математического ожидания и дисперсии, которые были использованы при доказательстве свойств оценок, были построены с использованием статистического ряда. Если данные выборки представлено в виде интервального вариационного ряда, то для вычисления соответствующих выборочных числовых характеристик используют следующие формулы.

1.Выборочное взвешенное среднее :

.

2. Выборочная взвешенная дисперсия :

,

которая является смещенной оценкой и несмещенная оценка

.

Здесь п – объем выборки, т – число разных вариант, nj – частоты вариант (п1+п2+…+пт=п).

Если в процессе эксперимента для статистики получено некоторое значение, то значит оно принадлежит области I_b, вероятность которой близка к 1. Эту вероятность называют доверительной вероятностью. Её обозначают b. По ней строят интервал, накрывающий значение оцениваемого параметра с вероятностью b. Его и называют доверительным интервалом с уровнем доверия b. Область I_b и доверительный интервал по ней строятся в соответствии с распределением вероятностей используемой статистики.

Величина уровня доверия влияет на величину интервала: чем больше уровень доверия, тем шире интервал. Уровень доверия выбирается из соображений допустимого риска.

Формула для доверительного интервала для математического ожидания m нормального распределения с уровнем доверия b для случая, когда известно среднеквадратическое отклонение распределения s:

(1)

Формула для доверительного интервала для математического ожидания m нормального распределения с уровнем доверия b для случая, когда среднеквадратическое отклонение распределения s неизвестно:

(2)

Пример.Для проверкифасовочной установки были отобраны и взвешены 20 упаковок. Получены следующие результаты (в граммах):

		247,3	247,4	251,7	252,5	252,6	252,8	252,8	252,9
	253,6	254,6	254,7	254,8	256,1	256,3	256,8	257,4	259,2

Найти доверительный интервал для математического ожидания с надёжностью 0,95, предполагая, что измеряемая величина распределена нормально.

Решение.Находимточечные оценки a и s:

Определяем по таблице распределения Стьюдента для доверительной вероятности b=0,95 и числу степеней свободы (n-1)=19 соответствующее значение t_b=2,093 и по формуле находим искомый интервал:

или 251,27£ а£ 254,69.

Указания к выполнению практической работы: Данные для решения первой задачи взять из таблицы №1. Работу оформить в отдельных тетрадях для практических работ. При необходимости использовать литературу из приведенного ниже списка.

Задания:

1. Для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака была извлечена выборка:

xi
ni	k	n	a	s	b

Найти несмещенные оценки генеральной средней и генеральной дисперсии.

2. Определение удельных магнитных потерь для различных образцов одной партии электротехнической стали марки 2212 дало следую­щие результаты: 1.21; 1.17; 1,18; 1,13; 1,19; 1,14; 1,20 и 1,18 Вт/кг. Счи­тая, что систематическая погрешность отсутствует, а случайная распределена по нормальному закону, требуется определить доверительный интер­вал при значениях доверительной вероятности 0,9 и 0,95. Для решения задачи использовать формулу Лапласа в распределении Стьюдента.

Практическая работа № 13 «Вычисление интервальной оценки

нормального распределения»

Основные понятия и определения.