Функция распределения случайной величины

Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную величину.

Функция распределения также полно характеризует случайную величину (а для непрерывных величин является основной).

Она определяется соотношением ) и рассчитывается для дискретной величины X следующим овразом

x	x1	X2	….	xn	….
p(x)	p(x1)	p(x2)	….	p(xn)	….
F(x)	p(x1)	p(x1)+ p(x2)	….	p(x1)+ p(x2)+...+ p(xn)	….

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

X							Контроль
P(x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	Σ=1

Из определения функции распределения F(x ) следуют свойства:

- вероятность того что случайная величина x примет значение меньшее чем a будет F(a);

- вероятность того что случайная величина x примет значение большее чем a будет 1-F(a);

- вероятность того что случайная величина x примет значение в интервале [a, b] будет

F(b)-F(a)

Если случайная величина принимает значения из непрерывного множества (например, отрезка числовой оси), то она называется непрерывной. Помимо функции распределения непрерывная случайная величина имеет плотность вероятности распределения, которая является производной функции распределения, и аналогична многоугольнику распределения, только ее график непрерывная линия.

Из графиков можно увидеть, что вероятность того, что x попадет в интервал [x, x+Δx] равна отрезку F(x+Δx) - F(x) или площади заштрихованного столбика на втором графике

В дополнение к функции распределения используются числовые характеристики случайной величины. Ими являются:

• Математическое ожидание (среднее в статистике),
• Дисперсия, (характеристика разброса значений возле среднего)
• Среднее квадратичное отклонение – квадратный корень из дисперсии

Пример.1

Известен закон распределения

x
F(x)		0,3010	0,4771	0,6020	0,6989	0,7781	0,8450	0,9030	0,9542

И функция распределения F(x)=log₁₀x

Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [3; 7]

Решение:

по свойству функции распределения P(3 ≤ x ≤ 7) =F(7)-F(3)

Из таблицы находим = 0,8450 -0,4771 =0,3679

P(3 ≤ x ≤ 7) =F(7)-F(3)= log₁₀7 - log₁₀3= log₁₀ =0,367977

Искомое значение: 0,367977

Далее будут рассмотрены и построены с помощью MS Excel наиболее распространенные распределения вероятности, используемые при статистической обработке данных медико-биологических исследований: биномиальное и нормальное.

Основные теоретические распределения