Решение типового примера и задания

Пример 1

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Район Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х
Удмуртская респ. 68,8 45,1
Свердловская обл. 61,2 59,0
Башкортостан 59,9 57,2
Челябинская обл. 56,7 61,8
Пермская обл. 55,0 58,8
Курганская обл. 54,3 47,2
Оренбургская обл. 49,3 55,2

Требуется:

1. Для характеристики зависимости уи х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации Решение типового примера и задания - student2.ru и F – критерий Фишера, коэффициент корреляции.

Решение.1а. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+bx решаем систему нормальных уравнений относительно aиb:

Решение типового примера и задания - student2.ru

По исходным данным рассчитываем Решение типового примера и задания - student2.ru

y x yx x2 y2 Решение типового примера и задания - student2.ru Решение типового примера и задания - student2.ru Ai
68,8 45,1 3102,88 2034,01 4733,44 61,3 7,5 10,9
61,2 59,0 3610,80 3481,00 3745,44 56,5 4,7 7,7
59,9 57,2 3426,28 3271,84 3588,01 57,1 2,8 4,7
56,7 61,8 3504,06 3819,24 3214,89 55,5 1,2 2,1
55,0 58,8 3234,00 3457,44 3025,00 56,5 -1,5 2,7
54,3 47,2 2562,96 2227,84 2948,49 60,5 -6,2 11,4
49,3 55,2 2721,36 3047,04 2430,49 57,8 -8,5 17,2
Итого 405,2 384,3 22162,34 21338,41 23685,76 405,2 0,0 56,7
Ср. Знач. 57,89 54,90 3166,05 3048,34 3383,68 x x 8,1
Решение типового примера и задания - student2.ru 5,74 5,86 x x x x x x
Решение типового примера и задания - student2.ru 32,92 34,34 x x x x x x

Решение типового примера и задания - student2.ru

Решение типового примера и задания - student2.ru

Уравнение регрессии: Решение типового примера и задания - student2.ru . С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Решение типового примера и задания - student2.ru

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

Решение типового примера и задания - student2.ru

Вариация результата на 12,7 % объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения Решение типового примера и задания - student2.ru .Найдем величину средней ошибки аппроксимации Решение типового примера и задания - student2.ru :

Решение типового примера и задания - student2.ru

В среднем расчетные данные отклоняются от фактических на 8,1 %.

Рассчитаем F – критерий:

Решение типового примера и задания - student2.ru

поскольку Решение типового примера и задания - student2.ru следует рассмотреть F-1.

Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Н0 о случайной природе выявленной зависимости и статистической значимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

1б. Построению степенной модели y=axb предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Решение типового примера и задания - student2.ru

Решение типового примера и задания - student2.ru

где Решение типового примера и задания - student2.ru

Для расчетов используем данные.

  Y X YX Y2 X2 Решение типового примера и задания - student2.ru Решение типового примера и задания - student2.ru Решение типового примера и задания - student2.ru Ai
1,8376 1,6542 3,0398 3,3768 2,7364 61,0 7,8 60,8 11,3
1,7868 1,7709 3,1642 3,1927 3,1361 56,3 4,9 24,0 8,0
1,7774 1,7574 3,1236 3,1592 3,0885 56,8 3,1 9,6 5,2
1,7536 1,7910 3,1407 3,0751 3,2077 55,5 1,2 1,4 2,1
1,7404 1,7694 3,0795 3,0290 3,1308 56,3 -1,3 1,7 2,4
1,7348 1,6739 2,9039 3,0095 2,8019 60,2 -5,9 34,8 10,9
1,6928 1,7419 2,9487 2,8656 3,0342 57,4 -8,1 65,6 16,4
Итого 12,3234 12,1587 21,4003 21,7078 21,1355 403,5 1,7 197,9 56,3
Ср.знач 1,7605 1,7370 3,0572 3,1011 3,0194 x x 28,27 8,0
Решение типового примера и задания - student2.ru 0,0425 0,0484 x x x x x x x
Решение типового примера и задания - student2.ru 0,0018 0,0023 x x x x x x x

Рассчитаем C и b:

Решение типового примера и задания - student2.ru

Решение типового примера и задания - student2.ru

Получим линейное уравнение: Решение типового примера и задания - student2.ru

Выполнив его потенцирование, получим:

Решение типового примера и задания - student2.ru

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата ух. По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции рху и среднюю ошибку аппроксимации Решение типового примера и задания - student2.ru :

Решение типового примера и задания - student2.ru

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

1в. Построению уравнения показательной кривой y=abx предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

Решение типового примера и задания - student2.ru

Решение типового примера и задания - student2.ru

где Решение типового примера и задания - student2.ru

Для расчетов используем таблицы:

  Y x Yx Y2 X2 yх y- yх (y- yх)2 Ai
1,8376 45,1 82,8758 3,3768 2034,01 60,7 7,0 49,00 10,2
1,7868 59,0 105,4212 3,1927 3481,00 56,4 4,9 24,01 8,0
1,7774 57,2 101,6673 3,1592 3271,84 56,9 3,0 9,00 5,0
1,7536 61,8 108,3725 3,0751 3819,24 55,5 1,2 1,44 2,1
1,7404 58,8 102,3355 3,0290 3457,44 56,4 -1,4 1,96 2,5
1,7348 47,2 81,8826 3,0095 2227,84 60,0 -6,5 42,25 12,0
1,6928 55,2 93,4426 2,8656 3047,04 57,5 -8,2 67,24 16,6
Итого 12,3234 384,3 675,9974 21,7078 21338,41 403,4 0,0 194,90 56,2
Ср.знач 1,7605 54,9 96,5711 3,1011 3048,34 x x 27,84 8,1
Решение типового примера и задания - student2.ru 0,0425 5,86 x x x x x x x
Решение типового примера и задания - student2.ru 0,0018 34,3396 x x x x x x x

Значения параметров регрессии A и B составили:

Решение типового примера и задания - student2.ru

Решение типового примера и задания - student2.ru

Получено линейное уравнение: Решение типового примера и задания - student2.ru .

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

Решение типового примера и задания - student2.ru

Тесноту связи оценим через индекс корреляции рху:

Решение типового примера и задания - student2.ru

Связь умеренная.

Решение типового примера и задания - student2.ru что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, описывает изучаемую зависимость.

1г. Уравнение равносторонней гиперболы Решение типового примера и задания - student2.ru линеаризируется при замене: Решение типового примера и задания - student2.ru Тогда Решение типового примера и задания - student2.ru

Для расчетов используем данные таблицы:

  y z yz z2 y2 yх y- yх (y- yх)2 Ai
68,8 0,0222 1,5255 0,000492 4733,44 61,8 7,0 49,00 10,2
61,2 0,0169 1,0373 0,000287 3745,44 56,3 4,9 24,01 8,0
59,9 0,0175 1,0472 0,000306 3588,01 56,9 3,0 9,00 5,0
56,7 0,0162 0,9175 0,000262 3214,89 55,5 1,2 1,44 2,1
0,0170 0,9354 0,000289 3025,00 56,4 -1,4 1,96 2,5
54,3 0,0212 1,1504 0,000449 2948,49 60,8 -6,5 42,25 12,0
49,3 0,0181 0,8931 0,000328 2430,49 57,5 -8,2 67,24 16,6
Итого 405,2 0,1291 7,5064 0,002413 23685,76 405,2 0,0 194,90 56,5
Ср.знач 57,9 0,0184 1,0723 0,000345 3383,68 x x 27,84 8,1
Решение типового примера и задания - student2.ru 5,74 0,002145 x x x x x x x
Решение типового примера и задания - student2.ru 32,9476 0,000005 x x x x x x x

Значения параметров регрессии a и b составили:

Решение типового примера и задания - student2.ru

Решение типового примера и задания - student2.ru

Получено уравнение: Решение типового примера и задания - student2.ru

Индекс корреляции: Решение типового примера и задания - student2.ru

Решение типового примера и задания - student2.ru По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи: Решение типового примера и задания - student2.ru (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями). Решение типового примера и задания - student2.ru остается на допустимом уровне, расчетное значение критерия Фишера равно:

Решение типового примера и задания - student2.ru

где Решение типового примера и задания - student2.ru

Следовательно, принимается гипотеза Н0 о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Анализ полученных уравнений:

№ п/п Видуравнения Коэффициент корреляции Ошибка аппроксимации Критерий Фишера Fфакт Выбор
Линейное уравнение Решение типового примера и задания - student2.ru -0,357 8,1% 0,7 при a=0,05  
Степенная модель Решение типового примера и задания - student2.ru Индекс корреляции -0,298 8,0% 0,76  
Показательное уравнение Решение типового примера и задания - student2.ru Индекс корреляции 0,3589 8,0% 0,8 выбрано
Уравнение равносторонней гиперболы Решение типового примера и задания - student2.ru Индекс корреляции 0,3944 8,1% 0,92 приa=0,05  

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи

2. Рассчитайте параметры 3 уравнений из следующих типов уравнений: линейное, степенное, экспоненциальное, полулогарифмическое, обратное, гиперболическое.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

5. Оцените с помощью F—критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

6. Сделайте оценку силы связи фактора с результатом с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности.

7. Сведите результаты расчета в общую таблицу и сделайте выводы о выборе уравнения.

Вариант 1.

Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам.

Показатель Материалоемкость продукции по заводам
Потреблено материалов на единицу продукции, кг. У 3,7 3,6 3,5 3,5
Выпуск продукции, тыс. ед. Х

Вариант 2.

По территориям Центрального района известны данные 2005г.

Район Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %,у Среднемесячная начисленная заработная плата, тыс.руб.,х
Брянская обл. 6,9
Владимирская обл. 8,7
Ивановская обл. 6,4
Калужская обл. 8,4
Костромская обл. 6,1
Орловская обл. 9,4
Рязанская обл. 11,0
Смоленская обл. 6,4
Тверская обл. 9,3
Тульская обл. 8,2
Ярославская обл. 8,6

Вариант 3.

По территориям Центрального района известны данные 1995г.

Район Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс.руб.,у Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс.руб.,х
Брянская обл.
Владимирская обл.
Ивановская обл.
Калужская обл.

Продолжение

Костромская обл.
г. Москва
Московская обл.
Орловская обл.
Рязанская обл.
Смоленская обл.
Тверская обл.
Тульская обл.
Ярославская обл.

Вариант 4

По территориям Центрального и Волго–Вятского районов известны данные за ноябрь 1997г.

Район Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс.руб.,у Прожиточный минимум в среднем на душу населения, тыс.руб.,х
Центральный    
Брянская обл.
Владимирская обл.
Ивановская обл.
Калужская обл.
Костромская обл.
Орловская обл.
Рязанская обл.
Смоленская обл.
Тверская обл.
Тульская обл.
Ярославская обл.
Волго-Вятский    
Респ. Марий Эл
Респ. Мордовия
Чувашская Респ.
Кировская обл.
Нижегородская обл.

Вариант 5

По территориям Волго–Вятского, Центрально–Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1997г.

Район Потребительские расходы в расчете на душу населения, тыс.руб.,у Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс.руб.,х
Волго-Вятский    
Респ. Марий Эл
Респ. Мордовия
Чувашская Респ.
Кировская обл.
Нижегородская обл.
Центрально-Черноземный    
Белгородская обл.
Воронежская обл.
Курская обл.
Липецкая обл.
Тамбовская обл.
Поволжский    
Респ. Калмыкия
Респ. Татарстан
Астраханская обл.
Волгоградская обл.
Пензенская обл.
Саратовская обл.
Ульяновская обл.

Вариант 6

По территориям Северного, Северо–Западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997г.

Район Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб.,у Денежные доходы на душу населения, тыс.руб.,х
Северный    
Респ. Карелия
Респ. Коми
Архангельская обл.
Вологодская обл.
Мурманская обл.
Северо-Западный    
Ленинградская обл.
Новгородская обл.
Псковская обл.
Центральный    
Брянская обл.
Владимирская обл.
Ивановская обл.
Калужская обл.
Костромская обл.
Московская обл.
Орловская обл.
Рязанская обл.
Смоленская обл.
Тверская обл.
Тульская обл.
Ярославская обл.
         

Вариант 7

По территориям Восточно–Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997г.

Район Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб.,у Денежные доходы на душу населения, тыс.руб.,х
Восточно-Сибирский    
Респ. Бурятия
Респ. Тыва
Респ. Хакасия
Красноярский край
Иркутская обл.
Усть–Ордынский Бурятский авт.округ
Читинская обл.
Дальневосточный    
Респ. Саха (Якутия)
Еврейский авт. Округ
Чукотский авт. Округ
Приморский край
Хабаровский край
Амурская обл.
Камчатская обл.
Магаданская обл.
Сахалинская обл.

Вариант 8

По территориям Уральского и Западно–Сибирского районов известны данные за ноябрь 1997г.

Район Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб.,у Денежные доходы на душу населения, тыс.руб.,х
Уральский    
Респ. Башкортостан
УдмуртскаяРесп.
Курганская обл.
Оренбургская обл.
Пермская обл.
Свердловская обл.
Челябинская обл.
Западно–Сибирский    
Респ. Алтай
Алтайский край
Кемеровская обл.
Новосибирская обл.
Омская обл.
Томская обл.
Тюменская обл.

Вариант 9

По территориям Уральского и Западно–Сибирского районов известные данные за ноябрь 1997г.

Район Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб.,у Денежные доходы на душу населения, тыс.руб.,х
Уральский    
Республика Башкортостан
Удмуртская Респ.
Курганская обл.
Оренбургская обл.
Пермская обл.
Свердловская обл.
Челябинская обл.
Западно–Сибирский район    
Респ. Алтай
Алтайский край
Кемеровская обл.
Новосибирская обл.
Омская обл.
Томская обл.
Тюменская обл.

Вариант 10

Имеются данные по странам за 1994г.

Страна Душевой доход, долл.,у Индекс человеческого развития (ИЧР), x1 Индекс челове-ческой бедности (ИЧБ), x2
Объединенные Арабские Эмираты 0,866 14,9
Таиланд 0,833 11,7
Уругвай 0,883 11,7
Ливия 0,801 18,8
Колумбия 0,848 10,7
Иордания 0,730 10,9
Египет 0,514 34,8
Марокко 0,566 41,7
Перу 0,717 22,8
Шри-Ланка 0,711 20,7
Филиппины 0,672 17,7
Боливия 0,589 22,5
Китай 0,626 17,5
Зимбабве 0,513 17,3
Пакистан 0,445 46,8
Уганда 0,328 41,3
Нигерия 0,393 41,6
Индия 0,446 36,7
             

Рекомендации по организации выполнения самостоятельной работы, примерный календарный план выполнения

Самостоятельная работа состоит из трех разделов: теория вероятности, математическая статистика и регрессионный анализ.

Первая часть - решение задач по теории вероятности должны выполняться в течение первых 5 недель по мере чтения лекционного материала и тематики практических занятий. При оформлении работы обязательны:

–текст задачи;

–приведение теоретического материала, используемого при решении со ссылкой на литературные источники;

–численное решение, четкий ответ.

Вторая часть - математическая статистика. Выполняется в течение следующей трети семестра, в основном на практических занятиях, с использованием компьютера для расчета и оформления таблиц и графиков.

Третья часть - регрессионный анализ. Работа должна содержать введение, где формулируется цель работы. Включает теоретическую часть описания метода наименьших квадратов, выбор не менее трех видов предполагаемых уравнений (линейная, степенная и т. д.). Для выбора типа уравнения используется рисунок поля исходных данных, с подбором нужного масштаба, с тем, чтобы можно было предположить вид уравнения.

В конце работы должна быть составлена сводная таблица с указанием вида уравнения, с числовыми параметрами, коэффициент корреляции, ошибка аппроксимации, критерий Фишера или Стьюдента табличный и для каждого уравнения и сделан вывод, какое уравнение рекомендуется к использованию.

Защита проходит в форме собеседования по темам

Рекомендуемая литература

Основная литература:

1. Письменный, Д. Т.Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам/ Д. Т. Письменный. - 4-е изд., испр. - М. : Айрис-пресс, 2008. – 288 с. – ( Высшее образование).

2. Рябушко, А. П. Индивидуальные задания по высшей математике : в 4 ч. : учеб. пособие / А. П. Рябушко, Ч. 4, Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика. - 2-е изд., испр. - Мн. : Вышэйш. шк., 2007.

Дополнительная литература:

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. - Изд. 10-е, стер. - М. : Высшая школа, 2004. - 479 с. - Прил.: с. 461-473. - Пред. указ.: с. 474-479. - ISBN 5-06-004214-6

2. Королев, В. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / В. Ю. Королев ; МГУ им. М. В. Ломоносова, фак. вычислит. матем. и кибернетики. - М. : Проспект, 2006. - 160 с. - Библиогр.: с. 160. - ISBN 5-482-00274-8

3. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учеб. пособие для вузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - 2-е изд., стер. - М. : Высшая школа, 2000. - 480 с. : ил. - Библиогр. с. 477. - ISBN 5-06-003830-0

4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер. - М. : ЮНИТИ, 2000. - 543 с. : ил. - Библиогр.: с. 509-510. - Прил.: с. 526-534. - Предм. указ.: с. 535-543. - ISBN 5-238-00141-Х

Методическая литература.

Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине "Теория вероятности и математическая статистика" для студентов специальности 090105.65 Комплексное обеспечение информационной безопасности / сост. М.А. Мартынова ; рец. А.С. Адамчук</font>. - Ставрополь : СевКавГТУ, 2009. - 75 с. : ил.

Наши рекомендации