Пример выполнения контрольного задания

Временной ряд представляет среднюю заработную плату работников угольной промышленности Кузбасса за 10 месяцев 1992 года в тыс. рублей: 32, 33, 36, 41, 68, 57, 96, 113, 132, 113.

1. Строим график временного ряда.

Вычисляем среднее значение

,

дисперсию

,

среднее квадратическое отклонение

.

2. Проводим линейное сглаживание временного ряда по точкам по формулам (5) и (7). Заданные и сглаженные значения временного ряда заносим в таблицу.

t
ut

Строим графики этих рядов.

График сглаженного ряда показывает монотонное возрастание значений ряда во времени.

3. Проверяем гипотезу о случайности ряда на основе сравнения средних значений первой и второй половины ряда. Предварительно вычисляем величины:

Проверяем гипотезу о равенстве дисперсий первой и второй половины ряда по критерию Фишера (9):

.

Из табл.1 находим F_кр= 5,0. Так как 3,58<5,0, гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Вычисляем величину t по формуле (10):

.

По табл. 2 определяем . Так как , то различия между средними первой и второй половинами ряда значимы, ряд неслучаен, и временной тренд существует.

4. Проводим автокорреляционный анализ временного ряда.

Вычисляем коэффициенты автокорреляции по формуле (12), предварительно составив следующие таблицы. В последнем столбце каждой таблицы вычислено среднее значение.

k = 1

ut
ut+1
ut× ut+1

Для величины u_t дисперсия

.

Для величины u_t+1 дисперсия

.

Коэффициент корреляции

.

k = 2

ut
Ut+2
ut× ut+2

k = 3

ut
ut+3
ut× ut+3

k = 4

ut
ut+4
ut× ut+4

k = 5

ut
ut+5
ut× ut+5

Первые пять значений коэффициентов автокорреляции имеют следующие значения: r₁ = 0,83; r₂ = 0,81; r₃ = 0,67; r₄ = 0,92; r₅ = 0,43.

По табл. 3 находим критические значения для этих коэффициентов при 5-% уровне значимости: r_1кр = 0,67; r_2кр = 0,71; r_3кр = 0,75; r_4кр = 0,81; r_5кр = 0,87. Коэффициент автокорреляции значим, если его значение больше соответствующего критического.

Построим коррелограмму:

Здесь сплошной линией обозначена автокорреляционная функция, а пунктирной – критический уровень коэффициентов автокорреляции.

Коррелограмма показывает связь последующих значений временного ряда от предыдущих с интервалом в два шага, то есть два месяца. Поэтому можно подтвердить вывод о наличии временного тренда.

5. Даем оценку моделей краткосрочного прогноза. По формулам (13)÷(17) вычисляем прогнозные значения и составляем таблицу.

t											,%
ut											-
ut(1)	-	32+	33+
ut(2)	-	-	34+	39+					140+
ut(3)	-	-	-	38+				102+	145+
ut(4)	-	-	-	-				104+	127+	120+
ut(5)	-	-	-	-	-				127+
кр	3,2	3,3	3,6	4,1	6,8	5,7	9,6	11,3	13,2	11,3	-

В качестве критических величин погрешностей прогнозных значений _кр выбираем 10% от заданных значений ряда.

Числа со знаками «+» показывают достоверные прогнозы. Процент достоверных прогнозов приведен в последней колонке.

Из таблицы следует, что наиболее достоверной, в данном случае, является модель краткосрочного прогноза по четырем последним точкам.

6. Определяем степень полиномиального тренда методом переменных разностей по формулам (20) ÷ (24) и табл. 1.

По формулам (20)÷(22) вычисляем переменные разности. Результаты вычислений заносим в таблицу.

t
D0ut
D1ut					– 11				– 19
D2ut				– 38		– 22		– 38			– 2,5

По формуле (23) вычисляем дисперсии разностей n-го порядка (n = 0, 1, 2,...).

Дисперсия разностей нулевого и первого порядков:

,

.

По формуле (24) вычислим значение параметра распределения Фишера и сравним его с критическим значением из табл. 1.

.

Так как F₁ > F_1кр, то значимо отличается от .

Проводим далее аналогично сравнение дисперсий и .

.

Так как F₂ < F_2кр, следовательно, незначимо отличается от , и степень полиномиального тренда p = 1.

7. Строим полиномиальный тренд временного ряда степени p = 1: , коэффициенты которого оцениваются по решению системы (26).

В нашем случае:

откуда находим а = 11,9 и b = 6,7 .

Тогда уравнение временного тренда:

y_t = 11,9t + 6,7.

Строим графики временного ряда и тренда.

8. Проверяем адекватность трендовой модели. Сначала вычисляем трендовые значения и значения остатков ряда по формуле (29). Результаты заносим в таблицу.

t
ut
yt
t			-6	-14		-21				-13

а) Проверяем гипотезу о случайности ряда остатков методом поворотных точек. Здесь

.

Число поворотных точек заданного ряда находим из графика ряда, . Вычисляем статистику , так как , то гипотеза о случайности ряда остатков принимается.

б) Далее проверяем гипотезу о равенстве нулю математического ожидания остатков ряда по статистике (30):

t = .

Так как вычисленное значение статистики t меньше критического t_кр = 2,23 из табл.2, то гипотеза принимается.

Трендовая модель адекватна, потому что обе гипотезы приняты.

9. Кратковременный прогноз временного ряда на один шаг (один месяц) вперед выполняем по формуле (16):

.

Долговременный прогноз на три шага вперед временного ряда производим по формуле (32):

y₁₃ = 11,9×13 + 6,7 = 161,4 .

Таким образом, средняя прогнозируемая заработная плата работников угольной промышленности Кузбасса за 11 месяц 1992 года составит 131 тысяч рублей, а за 1 месяц 1993 года 161,4 тысячи рублей.

Список рекомендуемой Литературы

1. Эконометрика /И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 272с.

2. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие /И.И.Елисеева, С.В.Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192с.

3. Магнус Я.Р. Эконометрика. Начальный курс /Я.Р.Магнус, П.К.Катышев, А.А. Пересецкий. – М.: Дело, 2000. – 248с.

4. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов /В.В. Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М. Дайитбеков и др.; Под ред. В.В.Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 391с.

5. Справочник по математике для экономистов /Под ред. В.И.Ермакова – М.: Высш. шк., 1987. – 324с.

6. Тюрин Ю.Н. Статистический анализ данных на компьютере /Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров; Под ред. В.Э. Фигурнова – М.: ИНФРА-М, 1999. – 456с.

7. Математические методы в экономике: Программа, методические указания и контрольная работа для студентов экономических специальностей заочного факультета/ Сост.: В.А.Гоголин, В.М.Волков, Е.А. Волкова, И.А. Ермакова. – Кемерово, КузГТУ, 1999.-14с.

Составители

Владимир Матвеевич Волков

Евгений Николаевич Грибанов

Инна Алексеевна Ермакова и др.

ЭКОНОМЕТРИКА

Методические указания, задания и пример выполнения

контрольной работы для студентов экономических

специальностей заочной формы обучения

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать 09.07.2007. Формат 60×84/16.

Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 1,1.

Тираж 450 экз. Заказ

ГУ КузГТУ.

650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография ГУ КузГТУ.

650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.