Эмпирическая функция распределения
Пусть наблюдается некоторая случайная величина Х. Ее функция распределения F(х) неизвестна. Как с помощью опытных данных получить приближение этой функции?
Пусть n – объем выборки, nx - число наблюдений, при которых полученное значение величины Х меньше x.
Тогда относительная частота события (X < x ) равна 
.
Напомним, что F(х) = P(X < x).
Приближением для вероятности служит частота, поэтому естественно ввести статистический аналог функции распределения
 |
F*(x) =
Функция F*(х) называется эмпирической функцией распределения.
Для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию (по аналогии с функцией распределения для дискретной случайной величины).
Пример 1 (см.выше):
| 7/25 | 7/25 | 5/25 | 2/25 | 4/25 |
 |
0, x ≤ 0
7/25, 0 < x ≤ 2
14/25, 2 < x ≤ 3
19/25, 3 < x ≤ 4
21/25, 4 < x ≤ 6
1, x > 6
Для интервального вариационного ряда имеем лишь значения функции F*(x) на концах интервала. Поэтому для графического изображения этой функции целесообразно ее доопределить, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой.
Пример 2 (см.выше):
| (-20; -15] | (-15; -10] | (-10; -5] | (-5; 0] | (0; 5] | (5; 10] | (10; 15] |
| 0,08 | 0,11 | 0,18 | 0,26 | 0,19 | 0,12 | 0,06 |
Свойства F*(x):
1) значения F*(x) принадлежат отрезку [0; 1];
2) F*(x) – неубывающая функция;
3) F(x) = 0 при x ≤ λ1 (наименьшего значения);
4) F(x) = 1 при x > λm (наибольшего значения).
Оценки параметров.
На практике чаще встречаются ситуации, когда изучаемый закон распределения ясен из каких-либо теоретических соображений.
Остаётся найти некоторые параметры, от которых он зависит. В этом и состоит третий этап обработки выборки (1 этап -составление вариационного ряда, 2 этап - составление эмпирического закона распределения).
Определение приближённых значений параметров распределения случайной величины по выборке называется статистическим оцениванием параметров, а полученные при этом приближённые значения параметров называются статистическими оценками.
Оценка называется точечной, если она представляет собой одно число.
Пусть закон распределения случайной величины Х содержит некоторый параметр t, численное значение которого неизвестно. Требуется оценить значение параметра t, исходя из значений величины Х, полученных в результате n независимых опытов: 
, 
, …, 
.
Любая оценка 
параметра t зависит от , ,…, ,т.е
= ( 
; 
; …; 
)
К оценке 
предъявляются следующие требования:
1) М( )=t
В этом случае оценка называется несмещённой. Это требование весьма важно при малом числе опытов.
2) 
т.е . случайная величина 
концентрируется у t. Такую оценку называют состоятельной.