Эмпирическая функция распределения

При построении эмпирических распределений для наглядности используют гистограмму.

С помощью метода рентгеновской рефлектометрии выполнен ряд измерений толщины пленки Si . Результаты измерения приведены в таблице №1. Построим гистограммы частот и относительных частот. Проверим гипотезу нормальности результатов измерений с помощью полученных гистограмм.

Расположим результаты измерений по возрастанию.

Таблица 4

Результаты измерений толщины пленки Si

№
	37,5679	37,5686	37,5789	37,5789	37,5836	37,5845
№
	37,5884	37,5931	37,5941	37,5964	37,5993	37,5996
№
	37,5999	37,6002	37,6045	37,6153	37,6234	37,6254
№
	37,6276	37,6316	37,6342	37,6455	37,6523	37,6566
№
	37,6666	37,6758	37,6824	37,6876	37,6905	37,6999

Разобьем диапазон значений на 5 интервалов.

Определим ширину интервала по формуле:

, (5.1.1)

где r - количество интервалов.

Таблица 5

Границы интервалов

Номера интервалов	Граница интервалов	Частота nj	Плотность частот nj/ h	Относительные частоты nj/ nh
xн	xв
	37,5679	37,5943		340.909	11.364
	37,5943	37,6207		265.152	9.602
	37,6207	37,6471		227.273	7.276
	37,6471	37,6735		113.637	3.788
	37,6735	37,6999		189.394	6.313

– число полученных значений попавших в интервал - x_в.

Построим гистограммы для плотности частот и для плотности относительных частот.

Рис. 3. Гистограмма распределения плотности частот.

Рис.4. Гистограмма распределения плотности относительных частот.

Вывод: из полученных графиков видно что гипотеза о нормальности распределения результатов измерений не подтвердилась.

5.2 СПОСОБ МОМЕНТОВ

С помощью метода рентгеновской рефлектометрии выполнен ряд измерений толщины пленки Si . Результаты измерения приведены в таблице №1. Проверим гипотезу нормальности результатов измерений с помощью способа моментов.

Таблица 6

Расчётные данные для вычисления асимметрии и эксцесса

Номера интервалов	Граница интервалов	Частота nj	Середина интервала хj	Xj nj
xн	xв
	37,5679	37,5943		37,5811	338,2299
	37,5943	37,6207		37,6075	263,2525	-//-
	37,6207	37,6471		37,6339	225,8034	-//-
	37,6471	37,6735		37,6603	112,9809	-//-
	37,6735	37,6999		37,6867	188,4335	-//-

Продолжение таблицы 6

Расчетные данные для вычисления асимметрии и эксцесса

Номера интервалов
	-0.0422	0.01602	- 0.00068	2.85*
	-0.0158	0.00175	- 2.76*	4.36*
	0.0106	0.00067	7.15*	7.57*
	0.037	0.0041	0.00015	5.62*
	0.0634	0.02	0.0012	8.08*

Рассчитаем выборочное среднее :

t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="32"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>n</m:t></m:r></m:e><m:sub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="32"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>j</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> ; (5.2.1)

- частота

– общее число результатов измерений

- середина интервала

- число интервалов

Асимметрия эмпирического распределения:

ентральный эмпирический момент третьего порядка, он рассчитывается по формуле:

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

Тогда асимметрия равна:

Эксцесс эмпирического распределения:

центральный эмпирический момент четвертого порядка.

Вывод: по полученным результатам можно сказать, что гипотеза о нормальности распределения не подтвердилась, так как и не равны нулю.