Определение, способы задания и свойства функции

Пределы числовой последовательности

И функции

Числовые последовательности

Числовые последовательности представляют собой бесконечное множество чисел. Примером являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Числовой последовательностью называется множество чисел, все элементы которого пронумерованы всеми натуральными числами. Обозначаются: . Числа называются элементами или членами последовательности, символ - общим или n-м членом последовательности, n- его номером. При этом не предполагается, что элементы с различными номерами сами должны быть различны.

Последовательность задана, если для любого номера n определено правило нахождения элемента последовательности с этим номером.

Чаще всего последовательность задают формулой его общего члена. Формула позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру n. Например,

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого nÎN выполняется неравенство: . В противном случае последовательность называется неограниченной. Т.о. - неограниченные, - ограниченная.

Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется неравенство . Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными. Последовательность - не монотонная, - монотонные.

Рассмотрим пример числовой последовательности . Изобразим ее члены точками числовой оси

· | | | | · | | | | |

Можно заметить, что члены последовательности с ростом n как угодно близко приближаются к 1. При этом расстояние, т.е. становится все меньше и меньше.

Определение: Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа ε существует такой номер N, что при всех n>N выполняется неравенство: . (1)

В этом случае пишут и говорят, что последовательность имеет предел, равный числу а. Говорят также, что последовательность сходится к а или называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Коротко определение предела можно записать так:

(Смысл кванторов: $ - существует, найдется; "- для любого, любой; : - «двоеточие» - такой, что).

Приведем геометрическую интерпретацию определения предела последовательности:

( | | | |

Nbsp;   Неравенство (1) равносильно неравенству или , которые показывают, что элемент находится в ε–окрестности точки а. Поскольку последовательность представляет собой бесконечное множество чисел, то, если она сходится, в любой ε–окрестности точки а на числовой прямой находится бесконечное число точек – элементов этой последовательности, тогда как вне ε–окрестности остается конечное число элементов. Итак, число а есть предел числовой последовательности , если для любого ε>0 найдется номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последователь ности попадут в ε-окрестность точки а, какой бы узкой она не была.   Неограниченная последовательность не имеет конечного предела. Однако она может иметь бесконечный предел, что записывается в следующем виде: . Если при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительны (отрицательны), то пишут ( ). Последовательность, имеющая своим пределом 0 (а=0), называется бесконечно малой последовательностью. Если - бесконечно малая последовательность, то - бесконечно большая последовательность, имеющая бесконечный предел, и наоборот.   Свойства сходящихся последовательностей: 1. Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу, то 2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. 3. Сходящаяся последовательность ограничена. 4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей и : + . 5. Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и : . 6. Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и . 7. Если элементы сходящейся последовательности удовлетворяют неравенству начиная с некоторого номера, то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству . 8. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности или числа есть бесконечно малая последовательность. 9. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.      

Определение, способы задания и свойства функции

Определение: Если каждому элементу х множества Х по какому-либо закону f (или по определенному правилу f) ставится в соответствие единственный элемент у из множества У, то говорят, что задана функциональная зависимость у от х по закону y=f(x) или функция y=f(x).

При этом х называется независимой переменной (или аргументом), у – зависимой переменной (или значением функции). Множество Х называется областью определения ( или областью существования) функции и обозначается D(f), множество У называется областью значений функции и обозначается Е(f).

Если множество Х не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, при котом формула имеет смысл. Например, для .

Задать функцию – значит, указать закон f или правило, позволяющее, зная х.находить соответствующее значение у.

Способы задания функции:

1. Аналитический – если функция задана с помощью формулы. Наиболее удобный способ для математического анализа, позволяющий исследовать функцию.

2. Табличный – если задана таблица значений функции, соответствующих определенным значением аргумента. Этот способ имеет широкое применение в экономике: экспериментальные измерения, таблицах бухгалтерской отчетности, банковской деятельности, статистических данных и т.п.

3. Графический – если задан график. Этот способ обычно используется с употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т.п.). В экономике используются графики, характеризующие динамику экономических параметров: объема ВВП, выручки, курсы валют, курса акций и т.п.

4. Словесный – если функция описывается правилом, составления, например, функция Дирихле: f(x)=1 , если x – рационально и f(x)=0, если x- иррационально.