Элементы аналитической геометрии

Федеральное агентство по образованию

Красноярский государственный университет

Т.И. Качаева

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

В ЭКОНОМИКЕ

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

Красноярск 2006

ББК

К30

Т.И. Качаева

К30 УМК по матричной алгебре в экономике: программа курса, темы семинарских занятий, вопросы к экзамену, сборник задач / Т.И.Качаева; Красноярский государственный университет – Красноярск, 2006. – 50 с. (экспресс- издание)

Одобрено на заседании методического совета экономического факультета Декан Е.Б. Бухарова _____________ 18 сентября 2006 г.

Программа составлена в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования

Предназначено для студентов

экономического факультета.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Красноярского государственного университета

@ Красноярский

Государственный

Университет, 2006

СОДЕРЖАНИЕ:

Программа курса

2. Сборник задач:

1. Комплексные числа. Комбинаторика. Бином Ньютона.

Многочлены.

Индивидуальное задание №1

Матрицы. Определители.

4.Обратная матрица. Ранг матрицы. Линейная зависимость векторов.

Задачи повышенной сложности.

5. Системы линейных уравнений.

Индивидуальное задание №2

6. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Линейные пространства.

7. Базис. Матрицы перехода. Процесс ортогонализации.

8. Матрицы операторов. Квадратичные формы.

9. Число и вектор Фробениуса. Продуктивность матриц.

10. Векторы. Скалярное произведение.

11. Векторное и смешанное произведение векторов.

12. Уравнения прямой на плоскости.

13. Уравнение плоскости. Уравнения прямой в пространстве.

14. Кривые второго порядка.

Индивидуальное задание №3

ПРОГРАММА КУРСА

«Матричная алгебра в экономике»

(64 аудиторных часа: 32 аудиторных часа лекции,

Аудиторных часа практические занятия)

Курс читается для студентов экономических специальностей дневного отделения во втором семестре.

Цель курса:сформировать у студентов представление о роли и месте алгебры в современной математике и науке; умение логически мыслить; оперировать абстрактными математическими объектами; уметь использовать математические понятия и символы для выражения количественных и качественных отношений.

Содержание курса:

ВВЕДЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

1.МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ

Множества натуральных, целых, рациональных, иррациональных, действительных чисел.

2. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

2.1. Алгебраическая форма комплексных чисел. Операции над

комплексными числами в алгебраической форме

(равенство, сложение, вычитание, сопряжение,

умножение, деление). Свойства этих операций.

Геометрический смысл операций сложения и вычитания.

2.2.Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Операции над комплексными числами в

тригонометрической форме. Геометрический смысл

операций умножения и деления в тригонометрической

форме.

2.3. Формулы Муавра (извлечение корня n-ой степени из

комплексного числа, возведение комплексного числа в

n-ю степень).

2.4.Формула Эйлера. Показательная форма комплексного

числа.

3. КОМБИНАТОРИКА. БИНОМ НЬЮТОНА

Перестановки, размещения, сочетания. Биномиальная

теорема. Треугольник Паскаля.

4. ПОЛИНОМЫ В КОМПЛЕКСНОЙ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

4.1. Определение полинома (многочлена).

4.2. Операции над полиномами (равенство, сложение, умножение, деление (с остатком)).

4.3. Теорема Безу. Схема Горнера.

4.4. Решение простейших алгебраических уравнений.

4.5. Основная теорема алгебры и ее следствия.

4.6. Разложение на линейные множители на множестве комплексных чисел.

4.7. Разложение на неприводимые множители (линейные и квадратичные (не имеющие действительных корней)) на множестве действительных чисел.

4.8. Теоремы о свойствах многочленов с действительными коэффициентами.

4.9. Теорема Виета.

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1. Матрицы. Основные определения. Операции над матрицами (сложение, умножение на число, вычитание, умножение матриц, транспонирование, обращение) и свойства этих операций.

1.2. Определители. Определение определителей второго и третьего порядка. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Определение определителей n-го порядка. Свойства определителей (десять свойств). Практический способ вычисления определителей n-го порядка.

1.3. Существование и единственность обратной матрицы. Формула для нахождения обратной матрицы.

1.4. Ранг матрицы. Миноры k-го порядка. Определение ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров. Метод вычисления ранга с помощью элементарных преобразований. Теорема об элементарных преобразованиях.

2. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО ВЕКТОРОВ

2.1. Определение арифметического n-мерного вектора

2.2. Операции над векторами (равенство, сумма, произведение вектора на число). Свойства операций (8 аксиом).

2.3. Определение арифметического n-го векторного пространства.

2.4. Линейная комбинация векторов. Линейная оболочка векторов.

3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ

ВЕКТОРОВ

3.1. Определение. Свойства линейной зависимости.

3.2. Определение максимальной линейно независимой системы векторов.

3.3. Линейно зависимые и линейно независимые системы в . Определение коллинеарности и компланарности векторов.

3.4. Линейно зависимые и независимые системы в . Треугольные системы.

3.5. Теорема о ранге матрицы (ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк и максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы).

3.6. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Определение системы n линейных уравнений с m

неизвестными.

4.2. Совместные и несовместные системы.

4.3. Определенные и неопределенные системы.

4.4. Однородные системы уравнений.

4.5. Теорема Кронекера-Капелли.

4.6. Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса.

4.7. Решение однородных систем линейных уравнений. Общее решение, частные решения, фундаментальная система решений.

4.8. Связь между решениями однородной и неоднородной систем линейных уравнений.

5. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ

5.1. Определение собственного вектора и собственного числа матрицы.

5.2. Характеристический многочлен матрицы.

5.3. Алгоритм нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы.

6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

6.1. Определение линейного пространства.

6.2. Примеры линейных пространств.

6.3. Подпространства линейного пространства.

6.4. Примеры подпространств.

6.5. Базис и размерность линейного пространства.

6.6. Примеры базисов в различных пространствах.

6.7. Размерность линейного пространства. Теорема о базисе.

6.8. Преобразование координат вектора при замене базиса. Матрица перехода от старого базиса к новому.

6.9. Ранг и базис системы векторов.

7. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА.

7.1. Определение скалярного произведения векторов.

7.2. Определение евклидова пространства .

7.3. Неравенство Коши-Буняковского.

7.4. Неравенство треугольника.

7.5. Ортогональные системы векторов.

7.6. Переход от линейно независимой системы векторов к ортогональной системе векторов (метод ортогонализации Грама-Шмидта).

7.7. Ортонормированные системы векторов.

8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

8.1.Определение линейного оператора.

8.1. Образ и ядро линейного оператора. Примеры.

8.2. Матрица линейного оператора. Примеры.

8.3. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

8.4. Сопряженные и самосопряженные линейные операторы. Их матрицы.

8.5. Собственные числа и собственные векторы самосопряженного оператора.

8.6. Теорема о существовании ортонормированного базиса из собственных векторов для самосопряженного оператора.

9. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

9.1. Определение линейной функции и формы. Примеры.

9.2. Определение билинейной функции и формы. Примеры.

9.3. Определение квадратичной формы. Примеры.

9.4. Преобразования квадратичной формы, матрица квадратичной формы.

9.5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

9.6. Закон инерции квадратичных форм.

9.7. Положительно определенные квадратичные формы.

9.8. Критерий Сильвестра.

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ В ЭКОНОМИКЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

1.1. Собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса-Перона. Число и вектор Фробениуса.

1.2. Балансовые модели

1.2.1. Модель Леонтьева.

1.2.2. Продуктивные модели Леонтьева. Определение продуктивной матрицы. Два критерия продуктивности матрицы. Запас продуктивности матрицы.

1.2.3. Модель международной торговли.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1.1. Векторы. Линейные операции над векторами.

1.2. Декартова прямоугольная система координат.Деление отрезка в данном отношении.

1.3. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Направляющие косинусы.

1.4. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Геометрический смысл векторного произведения.

1.5. Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.

1.6. Необходимые и достаточные условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.

1.7. Уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

1.8. Уравнения плоскости. Уравнения прямой в пространстве.

2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

2.1. Инварианты.

2.2. Классификация по инвариантам и собственным числам.

3. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.