Раздел 3. Элементы аналитической геометрии

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ЭКЗАМЕНА

Уважаемый г. Студент! Вам предлагается набор задач, охватывающий разделы курса «Алгебра и геометрия» в объеме, предусмотренном учебной программой большинства специальностей факультета ИСТ. Подобные задачи будут включены в экзаменационные билеты, поэтому необходимо уметь их решать.

Раздел 1. Комплексные числа

1. Дать геометрическое описание множества точек, удовлетворяющих неравенству .

2. Вычислить и , если .

3. Вычислить .

4. Найти корни уравнения .

Раздел 2. Элементы векторной алгебры

5. Вектор образует с координатными осями углы , вектор - углы . Найти угол между векторами и .

6. Найти угол между векторами , если , угол между равен .

7. Найти величину острого угла параллелограмма , если две его вершины и точка пересечения диагоналей .

8. Точками и отрезок разделен на три равные части. Найти , если .

9. На векторах построен параллелограмм. Найти длины его диагоналей, если , угол между и равен .

10. Найти направляющие косинусы вектора , если .

11. Зная, что , найти .

12. Найти площадь треугольника , если

13. Найти объем пирамиды с вершинами в точках
.

Раздел 3. Элементы аналитической геометрии

14. В параллелограмме известны координаты вершин и точка пересечения диагоналей . Найти уравнения его сторон.

15. Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

16. В треугольнике известны координаты двух вершин и точка пересечения высот . Найти координаты вершины .

17. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: , и точка пересечения диагоналей . Найти уравнения двух других сторон.

18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам .

19. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .

20. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости .

22. Найти проекцию точки на плоскость .

23. Найти точку, симметричную точке относительно плоскости .

24. Найти проекцию точки на прямую .

25. Найти расстояние от точки до прямой .

26. Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

27. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую .

28. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .

29. Доказать, что прямые: и лежат в одной плоскости. Составить уравнение этой плоскости.

30. Найти расстояние между прямыми
и .

31. Прямая проецируется на плоскость . Найти уравнение проекции.

32. Кривая задана уравнением: . Определить ее тип, найти эксцентриситет и уравнения директрис.

33. Кривая задана уравнением . Определить ее тип, найти эксцентриситет и уравнения директрис.

34. Составить уравнение эллипса, зная, что его фокусы , эксцентриситет . Составить уравнения директрис.

35. Составить уравнение гиперболы, зная ее фокусы и эксцентриситет .