Часть II. Теория вероятностей и математическая статистика (3 семестр)

Раздел III. Теория вероятностей

Тема 15. Случайные события. Детерминистский и стохастический подхо­ды к изучению явлений природы и общества. Стохастические подходы к изучению случайных явлений: статистический, теоретико-вероятностный и вероятностно-статистический. Сущность теории вероятностей и математи­ческой статистики и взаимосвязь между ними. Условия применимости ме­тодов теории вероятностей и математической статистики. Сведения по ис­тории развития теории вероятностей.

Понятия опыта, события, вероятности события. Виды событий (до­стоверное, невозможное случайное). Виды случайных событий (полная группа, несовместные, равновозможные, противоположные).

Тема 16. Частота и вероятность. Непосредственный подсчет веро­ятностей событий: классическая формула для вычисления вероятностей событий, элементы комбинаторики (правила умножения и сложения; раз­мещения; перестановки; сочетания). Геометрические вероятности. Стати­стическая вероятность события. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической уверенности.

Тема 17. Основные формулы для вычисления вероятностей событий.Сумма событий. Теоремы сложения вероятностей.

Произведение нескольких событий. Понятие условной вероятности события. Общая формулировка теоремы умножения вероятностей. Поня­тие независимых событий. Теорема умножения вероятностей для двух не­зависимых событий. Понятие событий, независимых в совокупности. Тео­рема умножения вероятностей для нескольких событий, независимых в со­вокупности. Теорема о вычислении вероятности появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Понятие последовательности независимых испытаний. Формула Бернулли. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Формула Пуас­сона.

Тема 18. Случайные величины. Понятие случайной величины. Виды слу­чайных величин. Понятие закона распределения вероятностей случайной величины. Способы задания закона распределения вероятностей дискрет­ной случайной величины: ряд, многоугольник и функция распределения. Свойства функции распределения. Способы задания закона распределения вероятностей непрерывной случайной величины: функция и плотность распределения. Вероятностный смысл, геометрическое истолкование и свойства плотности распределения вероятностей. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения вероятно­стей.

Тема 19. Числовые характеристики дискретной и непрерывной слу­чайных величин. Понятие, назначение и классификация числовых харак­теристик случайной величины. Математические ожидания дискретной и непрерывной случайных величин. Вероятностный смысл и свойства мате­матического ожидания. Мода и медиана случайной величины. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Следствия свойств математического ожидания и дисперсии. Начальные и центральные моменты случайной величины.

Тема 20. Нормальный закон распределения. Равномерный закон распре­деления вероятностей (определение, графики функции и плотности рас­пределения вероятностей, выражения для вычисления математического ожидания и дисперсии, область применения).

Экспоненциальный закон распределения вероятностей (определение, графики функции и плотности распределения вероятностей, выражения для вычисления математического ожидания и дисперсии, область приме­нения).

Нормальный закон распределения вероятностей (определение, гра­фики функции и плотности распределения вероятностей, влияние парамет­ров нормального распределения на форму нормальной кривой, вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал, вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания, правило “трех сигм”).

Особая роль нормального распределения вероятностей. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Раздел IV. Математическая статистика

Тема 21. Генеральная совокупность и выборка. Предмет и основные за­дачи математической статистики. Основные понятия математической ста­тистики: генеральная и выборочная совокупности, повторная и бесповтор- ная выборки, репрезентативная выборка, способы отбора элементов гене­ральной совокупности в выборку. Основные этапы статистической обра­ботки экспериментальных данных, их содержание и применяемые методы. Выборочные аналоги закона распределения вероятностей и числовых ха­рактеристик дискретной и непрерывной случайных величин.

Тема 22. Оценки параметров. Понятие точечной статистической оценки числовой характеристики случайной величины. Требования, предъявляе­мые к точечным оценкам. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Методы получения точечных оценок: моментов; максимально­го правдоподобия; наименьших квадратов.

Понятие интервальной оценки числовой характеристики случайной величины. Интервальные оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной и неизвестной дис­персии. Интервальные оценки дисперсии случайной величины.

Основные понятия статистической проверки статистических гипотез: понятие статистической гипотезы; варианты решений при проверке стати­стической гипотезы и их вероятности; понятия статистического критерия, критической области, области принятия гипотезы, критической точки; ло­гическая схема проверки статистической гипотезы.

Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания нормальной совокупности при известной и неизвестной дисперсии. Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом.

Тема 23. Корреляция и регрессия. Понятия функциональной, стохастиче­ской и корреляционной зависимостей. Понятие и основные задачи корре­ляционного и регрессионного анализов.

Основные понятия корреляционного анализа: ковариация, линейный коэффициент корреляции, коэффициент детерминации и их свойства; про­верка статистической значимости выборочного коэффициента корреляции.

Основные понятия регрессионного анализа: функция регрессии; эта­пы регрессионного анализа; идентификация модели парной линейной ре­грессии методом наименьших квадратов; проверка статистической значи­мости коэффициентов регрессии.

Часть III. Экономико-математические методы (4 семестр)

Тема 24. Понятие и классификация экономико-математических мето­дов. Основные понятия принятия решений по управлению социально­экономическими системами (понятие социально-экономической системы и ее особенности, основные понятия управления и теории принятия реше­ний, основные методы подготовки принятия решений по управлению со­циально-экономическими системами).

Основные понятия экономико-математического моделирования (по­нятие экономико-математического моделирования, основные практические задачи экономико-математического моделирования, предпосылки исполь­зования модели, проблема адекватности модели, элементы экономико­математической модели, основные этапы экономико-математического мо­делирования).

Понятие экономико-математических методов. Классификация и предмет экономико-математических методов. Сведения об использовании экономико-математических методов в научной и практической деятельно­сти.

Раздел V. Линейное и целочисленное программирование

Тема 25. Общая формулировка задачи линейного программирования.

Общая задача математического программирования. Общая задача линей­ного программирования. Примеры задач линейного программирования. Формы записи задачи линейного программирования (каноническая, век­торная, матричная, с использованием знаков суммирования).

Тема 26. Графический метод решения задачи линейного программиро­вания. Геометрический смысл задачи линейного программирования. Ал­горитм решения задачи линейного программирования графическим мето­дом с использованием понятий нормального вектора и линии уровня целе­вой функции. Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом путем вычисления значений целевой функции во всех вершинах области допустимых решений. Основные свойства решений задач линейного программирования.

Тема 27. Симплексный метод решения задачи линейного программирования. Суть симплексного метода решения задачи линейного программирования. Алгебраический симплексный метод решения задачи линейного программирования. Табличный симплексный метод решения задачи линейного программирования. Метод искусственного базиса получения до­пустимого решения. Взаимно двойственные задачи линейного программирования.

Тема 28. Целочисленное программирование. Основные понятия целочисленного программирования. Экономическое и геометрическое истолкование задач целочисленного программирования. Суть основных методов решения целочисленных задач линейного программирования (округления решения непрерывной задачи линейного программирования; полного перебора; отсечения нецелочисленных оптимальных решений). Метод Гомори решения целочисленной задачи линейного программирования. Метод ветвей и границ решения целочисленной задачи линейного программирования.

Раздел VI. Динамическое программирование

Тема 29. Рекуррентные соотношения Беллмана. Основные понятия ди­намического программирования (предмет динамического программирования, геометрическое истолкование общей задачи динамического программирования, условия применения методов динамического программирования; примеры экономических задач, допускающих решение методом динамического программирования). Суть метода динамического программирования на основе рекуррентных соотношений Беллмана. Решение с использованием рекуррентных соотношений Беллмана задач об оптимальном пути в транспортной сети, о выборе оптимальной стратегии обновления оборудования и об оптимальном распределении ресурсов.

Тема 30. Математическая теория оптимального управления.Сущность задачи оптимального управления в теории оптимального управления. Функция Гамильтона. Принцип максимума Понтрягина. Алгоритм решения задачи оптимального управления с использованием принципа максимума Понтрягина. Истолкование сопряженных переменных. Применение принципа максимума Понтрягина к задаче оптимального экономического роста.

Раздел VII. Теория игр

Тема 31. Основные понятия теории игр. Предмет и основные задачи теории игр. Основные понятия теории игр (игра, игрок, партия, выигрыш, проигрыш, ход, личный ход, случайный ход, стратегическая игра, стратегия игрока, оптимальная стратегия игрока). Ограничения теории игр. Классификация игр (по количеству игроков, по количеству стратегий игры, по взаимоотношениям сторон, по характеру выигрышей, по виду функции выигрышей, по количеству ходов, по информированности сторон).

Тема 32. Матричные игры. Антагонистические матричные игры и их решение в чистых стратегиях (платежная матрица, нижняя и верхняя цены игры, принцип минимакса).

Решение антагонистических матричных игр в смешанных стратегиях (понятие смешанной стратегии, условия применения смешанных стратегий, основные теоремы теории игр, упрощение игр, решение антагонистической матричной игры размера 2×2 в смешанных стратегиях и его геометрическое истолкование, графическое решение игр вида 2×n и m×2, приведение антагонистической матричной игры размера m×n к задаче линейного программирования).

Тема 33. Кооперативные игры. Основные понятия классических коопера­тивных игр: коалиция, характеристическая функция, дележ, доминирова­ние, С-ядро, решение по Нейману-Моргенштерну.

Основные понятия кооперативных игр с обязательными соглашени­ями: арбитражная схема игры, арбитражная игра, аксиомы и вектор Ше- пли, принципы оптимальности Нэша для арбитражных схем.

Тема 34. Игры с природой. Понятие игры с природой и ее формальное представление. Виды неопределенностей о состояниях природы. Решение игр с природой в условиях стохастической неопределенности о состояниях природы. Решение игр с природой в условиях полной неопределенности о состояниях природы.

Понятие статистической игры. Основные этапы решения статистической игры. Виды статистических экспериментов. Определение целесообразности проведения идеального эксперимента. Выбор оптимальной стратегии по результатам проведения идеального эксперимента. Выбор оптимальной стратегии по результатам проведения неидеального эксперимента: вычисление послеопытных вероятностей состояний природы по резуль­татам проведения эксперимента; выбор оптимальной стратегии в соответствии с критерием максимального среднего выигрыша или минимального среднего риска. Функция решения статистической игры. Определение целесообразности проведения неидеального эксперимента.

Раздел VIII. Сетевое планирование и управление

Тема 35. Основные понятия теории графов. Геометрическое и математическое понятия графа. Виды графов: плоские, ориентированные, эйлеровы, гамильтоновы. Способы задания ориентированного графа: в виде матрицы смежности вершин; в виде матрицы смежности дуг; в виде матрицы инцидентности; с помощью списка вершин и информации о том, с какими вершинами они соединены дугами; с помощью дуг и информации о том, на какие дуги они опираются.

Тема 36. Основные понятия сетевого планирования и управления.Назначение и области применения сетевого планирования и управления. Сетевая модель и ее основные элементы (событие, работа, путь). Алгоритм сетевого планирования и управления. Правила построения сетевых графиков. Упорядочение сетевого графика. Временные параметры сетевых графиков. Сетевое планирование в условиях неопределенности. Анализ и оптимизация сетевого графика.

Понятие о сетях Петри.

Раздел IX. Теория массового обслуживания

Тема 37. Основные понятия теории массового обслуживания. Предмет и основные понятия теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания (по количеству каналов обслуживания, по характеру формирования очереди, по расположению источника заявок).

Тема 38. Марковские процессы. Понятие марковского случайного процесса. Классификация потоков событий. Свойства простейшего потока событий. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний. Процесс гибели и размножения.

Тема 39. Задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания. Разомкнутая одноканальная система массового обслуживания с отказами. Разомкнутая многоканальная система массового обслуживания с отказами. Разомкнутая одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью. Разомкнутая многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью. Разомкнутая одноканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью. Разомкнутая многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью. Замкнутая одноканальная система массового обслуживания. Замкнутая многоканальная система массового обслуживания.

Часть IV. Экономико-математические модели (5 семестр)

Раздел X. Микроэкономические математические модели

Тема 40. Математические модели поведения потребителей. Основные предположения теории поведения потребителя. Функция полезности и ее свойства. Кривые безразличия и их свойства. Бюджетное множество. Задача оптимизации потребительского выбора, ее решение и геометрическое истолкование. Функции спроса Маршалла и Хикса. Неоклассическая мо­дель потребительского спроса Стоуна. Основные теоремы теории потреби­тельского выбора (лемма Шепарда, тождество Роя, уравнение Слуцкого). Кривые “доход - потребление”. Кривые “цены - потребление”.

Тема 41. Основные элементы экономико-математической модели поведения производителя. Экономико-математическая модель поведения производителя как совокупность балансовых соотношений, производственной функции, ограничений и целевой функции. Материальные балансы в натуральном и денежном выражении. Понятие и виды производственных функций (функции выпуска продукции, функции затрат ресурсов, производственные способы).

Тема 42. Производственные функции выпуска продукции. Основные свойства производственных функций выпуска продукции. Общая классификация производственных функций выпуска продукции (однофакторная, многофакторная, статическая, динамическая, аддитивная, мультипликативная, степенная). Основные типы производственных функций выпуска продукции (Кобба-Дугласа, Леонтьева, с постоянной эластичностью заме­ны ресурсов). Средние и предельные значения производственной функции выпуска продукции. Производственные функции выпуска продукции в темповой записи.

Тема 43. Производственные функции затрат ресурсов. Основные свойства производственных функций затрат ресурсов. Основные типы производственных функций затрат ресурсов (линейная однородная, линейная неоднородная, степенная). Формы описания производственного способа.

Тема 44. Математические модели поведения фирмы в условиях совершенной конкуренции. Формулировка задачи максимизации прибыли фирмы в долговременном и в краткосрочном интервалах планирования. Функции спроса на ресурсы в случае долговременного интервала планирования при отсутствии ограничений на ресурсы и на выпуск продукции. Функции спроса на ресурсы в случае краткосрочного интервала планирования при отсутствии ограничений на ресурсы и на выпуск продукции. Задача максимизации объема выпускаемой фирмой продукции при фиксированных издержках для случая краткосрочного интервала планирования и ее решение. Задача максимизации объема выпускаемой фирмой продукции при фиксированных издержках для случая долговременного интервала планирования и ее решение. Задача минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме выпуска продукции для случая долговременного интервала планирования и ее решение. Задача минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме выпуска продукции для случая краткосрочного интервала планирования и ее решение.

Тема 45. Математические модели поведения фирмы в условиях несо­вершенной конкуренции.Задача максимизации прибыли фирмы- монополиста и ее решение. Модели некооперированной количественной дуополии Курно, Стэкльберга и борьбы за лидерство. Модели некооперированной ценовой дуополии Бертрана, Эджуорта и лидерства по цене. Модели кооперированной дуополии Чемберлина и картельного соглашения. Модели некооперированной количественной олигополии Курно и Стэкль- берга. Модели некооперированной ценовой олигополии Бертрана и Форхаймера.

Раздел XI. Макроэкономические математические модели

Тема 46. Математические модели общего экономического равновесия. Основные понятия теории общего экономического равновесия.

Неоклассические дезагрегированные модели общего экономического равновесия Вальраса (основная идея, технологические множества, функция предложения, функция спроса, функции совокупного спроса и совокупно­го предложения, законы Вальраса, конкурентное равновесие) и Эрроу- Дебрё (описание и теорема о существовании конкурентного равновесия).

Неоклассическая агрегированная модель общего экономического равновесия в замкнутой экономике (схема кругооборота доходов и расходов в закрытой экономике, модель производства товаров и услуг, модель распределения национального дохода по факторам производства, модель спроса на товары и услуги, модель равновесия на рынке товаров и услуг, влияние фискальной политики государства на долгосрочное равновесие).

Кейнсианская агрегированная модель общего экономического равновесия в замкнутой экономике (основные понятия теории экономических колебаний, модель равновесия на рынке товаров и услуг, модель равновесия на денежном рынке, модель одновременного равновесия на рынке товаров и на рынке денег, влияние фискальной политики государства на краткосрочное равновесие).

Тема 47. Статическая и динамическая модели межотраслевого баланса. Статическая модель межотраслевого баланса в системе национальных счетов: схема межотраслевого баланса, коэффициенты прямых и полных материальных затрат, продуктивность модели Леонтьева.

Динамическая модель межотраслевого баланса Леонтьева.

Динамическая модель замкнутой экономики Неймана как обобщенная модель Леонтьева: основные понятия, замкнутость модели, правило нулевого дохода и его трактовка, стационарные траектории, динамическое равновесие.

Тема 48. Общие модели развития экономики. Кейнсианская модель эко­номического роста Харрода-Домара: предпосылки, основное тождество национальных счетов, анализ модели при трех сценариях экономического роста (потребление отсутствует, весь доход тратится на накопление; уровень потребления не зависит от времени; потребление растет с постоянным темпом).

Неоклассическая модель экономического роста Солоу: предпосылки; основное соотношение и его анализ; влияние нормы сбережения на устойчивое состояние; золотое правило накопления Фэлпса; варианты перехода к устойчивому состоянию, соответствующему золотому правилу; расчет источников экономического роста.