Теория вероятностей и математическая статистика
Федеральное государственное бюджетное образовательное
Учреждение высшего профессионального образования
Брянская государственная инженерно-технологическая
академия»
Муравьев А.Н., Котова И.А.,
Балухтина В.И.
СБОРНИК
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
(направления «Экономика», «Менеджмент»)
Брянск 2013
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая
академия»
Кафедра математики
Утверждены
Научно-методическим
Советом БГИТА
Протокол №___от________
СБОРНИК
КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ ДИСЦИПЛИНАМ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ
ОБУЧЕНИЯ
(направления «Экономика», «Менеджмент»)
Брянск 2013
Составители: доц. Муравьев А.Н., Котова И.А., Балухтина В.И.
Компьютерный набор: Муравьев А.Н.
Рецензент: к.ф.- м. н. профессор Евтюхов К.Н.
Рекомендованы:
Учебно-методической
комиссией механического факультета
протокол №_______от__________
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Контрольная работа №1
Задание 1. Найти матрицу С= 
.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами: 1) методом Крамера; 2) с помощью обратной матрицы.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 3. Решить систему методом Гаусса.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы 
.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Контрольная работа №2
Задание 1. Даны координаты вершин пирамиды 
. Требуется найти: 1) длину ребра 
; 2) угол между ребрами и 
; 3) угол между ребром 
и гранью 
; 4) площадь грани 
; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости 
; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины 
на грань . Сделать чертеж.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 2.
1. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина 
и уравнения двух медиан 
и 
Сделать чертеж.
2. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину 
, а также уравнения высоты 
и медианы 
, проведенных из различных вершин. Сделать чертеж.
3. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон AB: 
и AC: 
, и основание 
высоты AD. Сделать чертеж.
4. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями 
и 
. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей. Сделать чертеж.
5. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла 
и уравнение гипотенузы 
Сделать чертеж.
6. Даны две вершины треугольника 
и 
и точка пересечения высот 
. Найти третью вершину С. Сделать чертеж.
7. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 
и 
, диагонали его пересекаются в точке 
. Найти длины его высот. Сделать чертеж.
8. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: 
и 
, и уравнение одной из его диагоналей: 
. Сделать чертеж.
9. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину 
, и уравнения высот BM: 
и 
, где М-точка пересечения высот. Сделать чертеж.
10. В треугольнике АВС даны уравнение стороны AB: 
, уравнение высоты BM: 
, уравнение высоты AM: 
, где М-точка пересечения высот. Написать уравнения сторон АС, ВС и высоты СМ. Сделать чертеж.
Задание 3.
1. Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки 
и от оси 
. Сделать чертеж.
2. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек 
и 
равна 50. Сделать чертеж.
3. Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до точки 
вдвое меньше расстояния до точки 
. Сделать чертеж.
4. Написать уравнение кривой, модуль разности расстояний, от каждой точки которой до точек 
и 
равен 4. Сделать чертеж.
5. Написать уравнение кривой, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от точки 
и от оси 
. Сделать чертеж.
6. Написать уравнение кривой, каждая точка которой отстоит от точки 
вдвое дальше, чем от прямой 
. Сделать чертеж.
7. Написать уравнение кривой, для каждой точки которой расстояние от точки 
вдвое меньше расстояния от прямой 
. Сделать чертеж.
8. Написать уравнение кривой, сумма расстояний, от каждой точки которой до точек 
и 
равна 2 
. Сделать чертеж.
9. Написать уравнение кривой, сумма квадратов расстояний, от каждой точки которой до точек 
и 
равна 27. Сделать чертеж.
10. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой расстояния от начала координат и от точки 
относятся как 3:2. Сделать чертеж.
Задание 4. Дана функция 
на отрезке 
. Требуется:
1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая 
значения через промежуток 
, начиная от 
; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью; 3) по полученному уравнению определить, какая это будет линия; 4) сделать чертеж.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 5. Дано комплексное число 
. Требуется: 1) записать число в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения 
.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Математический анализ
Контрольная работа №1
Задание 1. Найти указанные пределы.
1. а) 
б) 
в) 
г) 
2. а) 
б) 
в) 
г) 
3. а) 
б) 
в) 
г) 
4.а) 
б) 
в) 
г) 
5.а) 
б) 
в) 
г) 
6.а) 
б) 
в) 
г) 
7.а) 
б) 
в) 
г) 
8.а) 
б) 
в) 
г) 
9.а) 
б) 
в) 
г) 
10. а) 
б) 
в) 
г) 
Задание 2.Функция задаётся различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Требуется:
1) найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) найти скачок функции в каждой точке разрыва;
3) сделать схематический чертёж.
1. 
; 2. 
;
3. 
; 4. 
;
5. 
; 6. 
;
7. 
; 8. 
;
9. 
; 10. 
;
Задание 3.Найти производные 
, пользуясь формулами дифференцирования.
1. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
2. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
3. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
4. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
5. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
6. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
7. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
9. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
10. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на заданном отрезке.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
.
7. 
8. 
9. 
10. 
Контрольная работа №2
Задание 1. Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики.
Исследование и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме:
1) найти область существования функции;
2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;
3) выяснить, не является ли данная функция четной, нечетной;
4) найти точки экстремума функции и определить интервалы возрастания и убывания функции;
5) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;
6) найти асимптоты графика функции, если они имеются;
7) построить график функции, используя результаты исследования; при необходимости можно дополнительно находить точки графика, давая аргументу х ряд значений и вычисляя соответствующие значения у.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 2. Найти неопределенные интегралы.
1.а) 
б) 
в) 
2.а) 
б) 
в) 
3.а) 
б) 
в) 
4.а) 
б) 
в) 
5. а) 
б) 
в) 
6. а) 
б) 
в) 
7. а) 
б) 
в) 
8. а) 
б) 
в) 
9. а) 
б) 
в) 
10. а) 
б) 
в) 
Задание 3. Найти определенные интегралы.
1. а) 
; б) 
; 2. а) 
; б) 
3. а) 
; б) 
; 4.а) 
; б) 
5. а) 
б) 
6. а) 
; б) 
7.а) 
; б) 
; 8. а) 
; б) 
9. а) 
; б) 
; 10. а) ; б) 
.
Задание 4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры ограниченной линиями.
1. 
, 
, 
, x=2. 2. 
.
3. 
, отсеченной прямой 
. 4. 
, 
5. 
, 
. 6. 
, 
. 7. 
, 
, 
.
8. 
. 9. 
, 
. 10. 
, x+y-7=0.
Контрольная работа №3
Задание 1. Дана функция z = f(x,y), найти:1) полный дифференциал dz; 2) частные производные второго порядка 
, 
, 
, 
.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
. 5. 
.
6. 
. Показать, что 
7. 
. Показать, что 
8. 
. Показать, что 
9. 
. Показать, что 
10. 
. Показать, что 
Задание 2. Исследовать функцию 
на экстремум.
1. 
2. 
.
3. 
4. 
.
5. 
6. 
.
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 4. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
Контрольная работа №4
Задание 1. Заданы функция предложения некоторого товара S=S(p) и функция спроса q=q(p) относительно цены p. Определить цену равновесия, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются, а также эластичность спроса и предложения для этой цены. Построить графики S=S(p) и q=q(p). Как изменится цена при увеличении предложения на 0,2%? Как изменится цена при увеличении спроса на 0,3%?
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6.
7. 
8. 
9. 
10. 
Задание 2. Исследовать сходимость числового ряда 
.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
. 7. 
.
8. 
. 9. 
. 10. 
.
Задание 3. Найти область сходимости степенного ряда 
.
1. 
. 2. 
. 3. 
. 4. 
.
5. 
6. 
. 7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
Задание 4. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике
1.Функция спроса и (соответственно) предложения имеют вид:
.
Найти зависимость равновесной цены от времени, если в начальный момент 
.
2.Функция спроса и (соответственно) предложения имеют вид:
.
Найти зависимость равновесной цены от времени, если 
. Является ли равновесная цена устойчивой?
3.Функция спроса и (соответственно) предложения имеют вид:
.
Найти зависимость равновесной цены от времени, если . Является ли равновесная цена устойчивой?
4.Предполагая, что цена на товар задается функцией 
, 
, 
, 
, найти зависимость 
объема реализованной продукции от времени.
5.Известно, что рост числа жителей некоторого района описывается уравнением:
,
где 
- максимально возможное число жителей для данного района. В начальный момент времени число жителей составило 1% от максимального. Через какой промежуток времени число жителей составит 80% от максимального?
6.Найти выражение объема реализованной продукции и его значение при 
, если известно, что кривая спроса имеет вид 
, норма акселерации 
, норма инвестиций , .
7.Найти функцию дохода 
, если известно, что величина потребления задается функцией 
; коэффициент капиталоемкости прироста дохода 
, 
.
8.В поселке с населением 3000 человек распространение эпидемии гриппа (без применения экстренных санитарно-профилактических мер) описывается уравнением:
,
где 
- число заболевших в момент времени 
; - число недель. Сколько больных будет в поселке через две недели, если в начальный момент было трое больных?
9.Найти выражение объема реализованной продукции , если известно, что кривая спроса имеет вид 
, норма акселерации 
, норма инвестиций 
, 
.
10.За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% первоначального количества?
Указание. Использовать закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству вещества, имеющегося в рассматриваемый период.
Теория вероятностей и математическая статистика
Контрольная работа
Задание 1. Найти вероятность событий.
1.Завод изготовляет валики, каждый из которых имеет дефект с вероятностью p. Валик проверяется одним контролером, обнаруживающим дефект с вероятностью p1(если дефект не обнаружен, то валик идет в готовую продукцию). Кроме того, контролер может забраковать валик, не имеющий дефекта, с вероятностью α. Найти вероятности следующих событий:
А = «валик будет забракован»
В = «валик будет ошибочно забракован»
С = «валик, имеющий дефект, будет пропущен в готовую продукцию».
2.Истребитель атакует бомбардировщик, делает один выстрел и сбивает бомбардировщик с вероятностью p1. Если этим выстрелом бомбардировщик не сбит, то он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью p2. Если истребитель этим выстрелом не сбит, то он еще раз стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью p3. Найти вероятность следующих событий:
А = «сбит бомбардировщик»
В = «сбит истребитель»
С = «сбит хотя бы один самолет»
3.На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46% и третьей – 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, а для третьей – 1%. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось нестандартным.
4.В помещении завода имеется 5 одинаковых машин. Для каждой машины вероятность того, что она в данный момент работает, составляет 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает по меньшей мере одна машина.
5.Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.
6.По данным одного из участков станции технического обслуживания автомобилей деталь А заменяется в среднем в 36% случаев, деталь В – в 42% случаев, а одновременно детали А и В подлежат замене в среднем в 30 % случаев аварий автомобилей.
а) Зависят ли одна от другой замена деталей А и В?
б) Найти вероятность того, что деталь В будет заменена, если деталь А уже заменена.
7.На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляются детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0.7, если она изготовлена на первом станке, 0.8 – если на втором станке и 0.9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной. Оценить вероятность того, что бездефектная деталь была изготовлена на втором станке.
8.На студии телевидения установлены 3 камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, составляет 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена по меньшей мере одна камера.
9.В группу спортсменов входят 20 гребцов, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность достижения требуемой квалификационной нормы составляет соответственно: 0.9, 0.8 и 0.75. Найти вероятность того, что выбранный в случайном порядке спортсмен достигнет требуемой нормы.
10.Вероятность, что расход электроэнергии в течение произвольно взятого часа не превысит установленной нормы, составляет p = 3/4. Найти вероятность того, что из ближайших 6 часов расход энергии в течение 4 часов не превысит нормы.
Задание 2. Заданы дискретные случайные величины.
1.На двух автоматических станках производятся однотипные детали. Законы распределения числа X и Y выпускаемых в течение смены бракованных деталей соответственно для первого и второго станка заданы таблицами:
| Х | ||||
| Р | 0,8 | 0,1 | 0,06 | ? |
| Y | |||
| Р* | 0,9 | 0,06 | 0,04 |
Составить закон распределения количества бракованных деталей, выпускаемых в течение смены на обоих станках, и вычислить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
2.Вероятность того, что часы нуждаются в дополнительной регулировке, равна 0,2. Составить закон распределение количества часов, нуждающихся в дополнительной регулировке, среди трех случайно отобранных. По полученному закону распределения найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Результат проверить по соответствующим формулам математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по биномиальному закону.
3.Из имеющихся шести билетов лотереи, из которых четыре невыигрышных, наудачу вынимают по одному билету до тех пор, пока не встретится выигрышный билет. Составить закон распределения случайной величины X – числа вынутых билетов, если каждый вынутый билет обратно не возвращается. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
4.Студент может сдавать экзамен не более четырех раз. Составить закон распределения случайной величины X – числа попыток сдать экзамен, если вероятность его сдачи – 0,75 и в дальнейшем возрастает на 0,1 при каждой следующей попытке. Найти дисперсию этой случайной величины.
| Y | -3 | -1 |
| Р* | 0,75 | 0,25 |
5. Даны законы распределения двух независимых случайных величин X и Y:
| Х | -6 | ||
| Р | 0,3 | 0,45 | 0,25 |
Составить закон распределения случайной величины X–Y и проверить свойство дисперсии D(X –Y) = D(X) + D(Y).