Задача №2. Множественный регрессионный анализ

Торговая компания, располагающая семью магазинами (i=1:7), поставила задачу: исследовать зависимость объема продаж у (в десятках тыс.руб./день) от размера торговой площади х₁ (в сотнях м²) и от размера паркинговой площади х₂ (в десятках автомашин) в определенном радиусе вокруг магазина. В табл. 2 приведены соответствующие данные для х₂ по 5-ти вариантам. Данные для у и х₁ взять из табл. 1.

Единицы измерения выбраны с учетом достоверности данных и удобства вычислений.

Жирным шрифтом в табл. 2 выделен столбец, для которого рассмотрен пример решения задачи.

По данным вашего варианта из табл. 1 и табл. 2:

2.1. нанести в координатах х₂у точки на плоскость (построить корреляционное поле);

2.2. записать для своего варианта матрицу Х значений объясняющих переменных (матрицу плана);

2.3. записать транспонированную матрицу плана Х’;

2.4. найти произведение матриц Х’X;

2.5. найти обратную матрицу (Х’X)^-1;

2.6. найти произведение матриц X’Y;

2.7. найти уравнение регрессии Y по Х₁ и Х₂ в форме =b₀+ b₁х₁ + + b₂х₂ методом наименьших квадратов путем умножения матрицы (Х’X)^-1 на матрицу X’Y, т.е. рассчитать коэффициенты регрессии по формуле b=(Х’X)^-1X’Y;

2.8. объяснить смысл изменения значения коэффициента регрессии b₁;

2.9. рассчитать значения коэффициентов эластичности для обоих факторов и сравнить влияние каждого из них на средний объем продаж;

2.10. оценить аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина "СИ" с торговой площадью х₁=11 (напомним, что это 1100 м²) и паркинговой площадью х₂=8 (напомним, что это 80 автомашин);

2.11. найти 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального и среднего прогнозных значений объема продаж магазина "СИ";

2.12. проверить значимость коэффициентов регрессии;

2.13. найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов регрессии b₁ и b₂ и дисперсии s₂;

2.14. определить множественный коэффициент детерминации и проверить значимость уравнений регрессии на уровне a=0,05;

2.15. определить, существенно ли увеличилось значение коэффициента детерминации при введении в регрессию второй объясняющей переменной.

Задача №3. Временные ряды и прогнозирование

Торговая компания поставила задачу: исследовать динамику объема продаж у (в млн руб./год) за семилетний период (t=1:7) в магазине "ДО".

По данным вашего варианта из табл. 1:

3.1. нанести в координатах tу точки на плоскость и соединить их отрезками прямой линии;

3.2. найти среднее значение у и нанести его на график;

3.3. найти среднее квадратическое отклонение и нанести его на график в виде двух параллельных линий (коридор);

3.4. рассчитать значения коэффициентов автокорреляции 1-го и 2-го порядков, нанести три точки - 1, r(1), r(2) - коррелограммы на плоскость в координатах t, r.

Исходные данные для задач 1, 2, 3

Таблица 1

i

хi

у - объем продаж (десятков тыс. руб./день) по вариантам

А

-

А

Б

В

Г

Д

Е

К

Л

М

Н

О

П

Р

Продолжение табл. 1

i

хi

у - объем продаж (десятков тыс. руб./день) по вариантам

Е

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

К

Л

М

Н

О

П

Р

Продолжение табл. 1

i

хi

у - объем продаж (десятков тыс. руб./день) по вариантам

И

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

К

Л

М

Н

О

П

Р

Продолжение табл. 1

i

хi

у - объем продаж (десятков тыс. руб./день) по вариантам

О

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

К

Л

М

Н

О

П

Р

Продолжение табл. 1

i

хi

у - объем продаж (десятков тыс. руб./день) по вариантам

Я

А

Б

В

Г

Д

Е

Ж

К

Л

М

Н

О

П

Р

Таблица 2

Исходные дополнительные данные для задачи 2

i	х2 – площадь паркинга (десятки автомашин) по вариантам
-	А	Е	И	О	Я

4. Примеры решения задач

Задача №1

Решить задачу №1 по данным варианта из табл 1.

1.1. Нанести в координатах ХY точки на плоскость (построить корреляционное поле).

Решение. Для наглядности выберем наши данные из табл.1. в табл. 3.

Таблица 3

xi
yi

На рис. 1 представлено корреляционное поле. Как видно, оно должно хорошо аппроксимироваться прямой линией. Зависимость между Х и Y тесная и прямая.

у

х

Рис. 1

1.2. Найти методом наименьших квадратов уравнение регрессии Y по Х в линейной форме:

=b0+ b1x.

(1)

Решение. Расчетные формулы для неизвестных параметров регрессии:

(2)

На основе табл. 3 рассчитаем необходимые суммы, входящие в формулу (2).

Таблица 4

xi	yi	x2	xiyi	(xi- )2	xi	ei2=( xi-yi)2
				5,90	1,97	0,00
				5,90	1,97	1,06
				2,04	3,51	0,22
				0,18	5,05	0,00
				0,32	6,59	2,53
				2,46	8,13	1,28
				20,88	12,75	1,56
				37,68		6,65

(3)

Искомые оценки параметров регрессии и само уравнение регрессии:

b1= (27,86-3,43×5,71)/(17,14-3,432) =8,27/5,38=1,54 b0=5,71-1,54×3,43=0,43 =0,43+1,54x.

1.3. Построить линию регрессии на координатной плоскости XY.

Решение. Искомую линию проще всего построить по двум точкам (см. рис. 1), например (0; 0,43) и (8,00; 12,75).

1.4. Показать графически и аналитически, что линия регрессии проходит через точку ( , ).

Решение. Из графика на рис.1 видно, что линия регрессии проходит через точку “средних” ( =3,43; =5,71). Проверим это аналитически: =0,43+1,54×3,43 = 5,71, что и требовалось доказать.

1.5. На сколько вырастет средний объем продаж при увеличении х на 1.

Решение. При увеличении торговой площади на 1 (100 м²) в среднем объем продаж увеличится на b₁= 1,54 (т.е. на 15400 руб./день).

1.6. Имеет ли смысл свободный член в уравнении регрессии.

Решение. Свободный член b₀=0,43 смысла не имеет, т.к. при нулевой торговой площади положительного объема продаж быть не может.

1.7. Вычислить коэффициент корреляции между переменными X и Y.

Решение. Используем формулу:

(4)

Здесь известно все, кроме

Окончательно

Полученное значение коэффициента корреляции говорит о высокой (почти функциональной) зависимости объема продаж от размера торговой площади.

1.8. Определить графически и аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина "СИ" с торговой площадью х=11 (напомним, что это 1100 м²).

Решение. Прогнозное значение из рис.1 и из формулы совпадают:

=0,43+1,54×11=17,37 (173700 руб./день)

1.9, а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж.

Решение. Оценка значения условного МО М_х=11(Y) равна 17,37. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _х=11, нужно оценить дисперсию ее оценки .

Для этого определим дисперсию возмущений (см. табл. 4, графы 4-6):

Искомая дисперсия

Для статистики Стьюдента число степеней свободы k = n – 2 = 7 – 2 = 5. По табл. П2 находим значение t_0,95;5=2,57 критерия Стьюдента. Искомый 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина "СИ":

Нижнее значение интервала: 17,37-2,57×1,48=13,57.

Верхнее значение интервала: 17,37+2,57×1,48=21,37.

Окончательно интервал имеет вид:

13,57 £ M_x(Y) £ 17,37.

1.9, б). Найти 95%-ный доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения объема продаж _xo=11.

Решение. Чтобы построить доверительный интервал для СВ _хo=11, нужно оценить ее дисперсию:

Нижнее значение интервала: 17,37-2,57×1,88=12,54.

Верхнее значение интервала: 17,37+2,57×1,88=22,20.

Окончательно интервал имеет вид:

12,54 £ £ 22,20.

Как и следует из теории, этот интервал больше предыдущего и большой по величине. Коэффициент осцилляции для него:

К_о=(R/ )100%= ((22,2-12,54)/17,37)100%=55,6%.

1.10, а) Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента регрессии b₁.

Решение. Общая формула для расчета интервала:

b₁-D £ b₁ £ b₁+D,

где

Нижнее значение интервала: 1,54-0,48=1,06.

Верхнее значение интервала: 1,54+0,48=2,02.

Окончательно интервал имеет вид:

1,06 £ b₁ £ 2,02.

1.10, б) Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки дисперсии возмущений s².

Решение. Найдем по табл.П3 (критерий Пирсона) табличное значение статистики хи-квадрат:

Формула для доверительного интервала:

1.11, а) Оценить на уровне a=0,05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Фишера.

Решение. Вычислим суммы квадратов.

Общая сумма:

Q=å(y_i- )²=13,77+7,35+2,93+0,51+0,51+1,67+68,73= 95,47.

Регрессионная сумма:

Q_R=å( _i- )²=13,99+13,99+4,84+0,44+0,78+8,56+49,56=92,16.

Остаточная сумма: Q_e=å( _i-у)²=6,65 (см. табл. 4).

Значение статистики Фишера :

Уравнение регрессии значимо, если F > F_a,k1,k2, где степени свободы k₁=m-1=2-1=1, k₂=n-m=7-2=5. По табл. П4 находим критическое значение F_0,05;1;5=6,61. Так как 69,66 > 6,61, то уравнение значимо: коэффициент регрессии b₁ =1,54 значимо отличается от нуля.

1.11, б) Оценить на уровне a=0,05 значимость уравнения регрессии Y по Х по критерию Стьюдента.

Решение. Уравнение парной регрессии значимо, если

По табл. П2 находим t_0,95;7-2=5=2,57. Так как 8,22 > 2,57, то гипотезу Н_о(Н_о : β₁=0) отвергаем и принимаем противоположную гипотезу Н₁: уравнение значимо.

1.12. Определить коэффициент детерминации R² и раскрыть его смысл: на сколько процентов в среднем объем продаж зависит от размера торговой площади.

Решение. Используем формулу: R²= Q_R/Q = 92,16 / 95,47 = 0,97. R² показывает, какая доля вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. Ответ: эта доля составляет 97%.

Задача №2

Решить задачу №2 по данным варианта из табл. 1 и 2.

2.1) Нанести в координатах х₂у точки на плоскость (построить корреляционное поле).

Решение. Для наглядности выберем наши данные из табл. 1 и 2. Из рис. 2 видно, что прямая линия хорошо аппроксимирует связь между у и х₂. Эта связь прямая и очень тесная.

у
15
							х2

Рис. 2

2.2. Записать для своего варианта матрицу Х значений объясняющих переменных (матрицу плана).

Решение. См.среднюю матрицу в п. 2.4.

2.3. Записать транспонированную матрицу плана .

Решение. См. левую матрицу в п. 2.4.

2.4. Найти произведение матриц .

Решение.

2.5. Найти обратную матрицу ( )^-1.

Решение. Для краткости введем обозначение: А= . требуется найти обратную матрицу А-1. Используем формулу:

где - определитель матрицы А,

– транспонированная матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы А.

=7×120×79+24×96×21+21×96×24-21×120×21-96×96×7-79×24×24=192.

Находим алгебраические дополнения:

А11 = 120 × 79 – 96 × 96 =264;	А12 = -(24 × 79 – 96 × 21 = 120);
А13 = 24 × 96 – 120 × 21 = -216;	А21 = -(24 × 79 – 21 × 96) = 120;
А22 = 7 × 79 - 21 × 21 = 112;	А23 = -(7 × 96 – 24 × 21)= -168;
А31 = 24 × 96 – 21 × 120 = -216;	А32 = -(7 × 96 – 21 × 24) = -168;
А33 = 7 × 120 – 24 × 24 = 264.

Обратная матрица:

Проверка. Если расчеты верны, то должно выполниться равенство:

А А^-1 = Е.

Для повышения точности множитель 1/192 введем отдельно.

Как видно, равенство выполнено, значит расчет обратной матрицы выполнен верно.

2.6. Найти произведение матриц .

Решение.

2.7. Найти уравнение регрессии Y по Х₁ и Х₂ в форме =b₀+ b₁ х₁ + + b₂х₂ методом наименьших квадратов путем умножения матрицы ( .)^-1 на матрицу , т.е. рассчитать коэффициенты регрессии по формуле b=( )^-1 .

Решение.

Итак, ответ: b₀ = -0,88; b₁ = 0,50; b₂ = 1,63. Уравнение множественной регрессии имеет вид: = -0,88 + 0,50x₁ + 1,63x₂.

2.8. Объяснить смысл изменения значения коэффициента регрессии b₁.

Решение. В задаче №1 значение b₁=1,54, а теперь его значение снизилось до b₁=0,50. Это связано с тем, что на объем продаж помимо торговой площади теперь влияет учитываемая площадь паркинга.

2.9. Рассчитать значения коэффициентов эластичности для обоих факторов и сравнить влияние каждого из них на средний объем продаж.

Решение. Коэффициент эластичности в общем случае есть функция объясняющей переменной, например:

Если то при увеличении х₁ от среднего на 1% объем продаж возрастет на 0,30%. Аналогично при увеличении х₂ от среднего на 1% объем продаж возрастет на 0,86%.

2.10. Оценить аналитически прогнозное среднее значение объема продаж для проектируемого магазина "СИ" с торговой площадью х₁=11 (1100 м²) и паркинговой площадью х₂ = 8 (80 автомашин).

Решение. Объем продаж рассчитаем по уравнению регрессии:

= -0,88 + 0,50 × 11 + 1,63 × 8 = 17,66.

2.11, а) Найти 95%-ный доверительный интервал для среднего прогнозного значения объема продаж магазина "СИ".

Решение. По условию нужно оценить М_х(Y), где вектор переменных Выборочной оценкой условного МOМ_х(Y) является значение регрессии (11, 8) = 17,66. Для построения доверительного интервала для М_х(Y) нужно знать дисперсию оценки и дисперсию возмущений s²:

Для удобства вычислений составим табл. 5.

Таблица 5

i	xi1	xi2	yi		ei
				1,25	0,75	0,56
				2,88	0,12	0,02
				3.38	0,62	0,39
				5.51	-0,51	0,26
				6,01	-1,01	1,02
				8,14	-1,14	1,30
				12,90	1,10	1,21
∑				40,07	-0,07	4,76

На основе табличных данных:

По табл. П2 находим критическое значение статистики Стьюдента t_{0,95; 7-2-1=5} = 2,78. Полуинтервал D = t_{0,95; 5} = 2,78 × 1,46 = 4,05.

Нижняя граница интервала: _min = _Xo - D = 17,66 - 4,05 = 13,61.

Верхняя граница интервала: _mах = _Xo + D = 17,66 + 4,05 = 21,71. Окончательно доверительный интервал для среднего прогнозного значения _Xo : 13,61 £ М_Хo(Y) £ 21,71. Интервал большой, что объясняется слишком короткой выборкой.

2.11, б) Найти 95%-ный доверительный интервал для индивидуального прогнозного значения объема продаж магазина "СИ" .

Решение. Интервал рассчитаем по выражению:

где

Полуинтервал D = 2,78 × 1,82 = 5,06. Нижние и верхние границы интервала: _min = 17,66 - 5,06 = 12,60 и _max = 17,66 + 5,06 = 22,72. Окончательно интервал имеет вид: 12,60 £ £ 22,72. Как и следовало ожидать, данный индивидуальный интервал больше предыдущего среднего.

2.12. Проверить значимость коэффициентов регрессии.

Решение. Стандартная ошибка рассчитывается по формуле:

где выражение под корнем есть диагональный элемент матрицы ^-1.

Отсюда: s_b1 = 1,09 = 1,28; s_b2 =1,09 = 0,83.

Так как t = çb₁ç/ s_b1 = 0,50/1,28 = 0,39 < t_0,95;4 = 2,78, то коэффициент b₁незначим (незначимо отличается от нуля).

Так как t = çb₂ç/ s_b2 = 1,63/0,83 = 1,96 < t_0,95;4 = 2,78, то и коэффициент b₂ незначим на 5%-ном уровне.

2.13. Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициентов регрессии b₁ и b₂ и дисперсии s².

Решение. Интервалы коэффициентов регрессии рассчитываются по формуле: b_j + t_1-a,n-p-1s_bj £ b_j £ b_j + t_1-a,n-p-1s_bj.

Поскольку оба коэффициента регрессии незначимы, то не имеет смысла строить для них доверительные интервалы.

2.14. Определить множественный коэффициент детерминации и проверить значимость уравнения регрессии на уровне a=0,05.

Решение. Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

;

Уравнение регрессии значимо, если (критерий Фишера):

F = R² (n-p-1)/(1- R²) p > F_a;k1;k2.

Отсюда F = 0,96(7-2-1)/(1-0,962)2 = 24,62 > F_0,05;2;4.

Вывод: уравнение значимо.

2.15. Определить, существенно ли увеличилось значение коэффициента детерминации при введении в регрессию второй объясняющей переменной.

Решение. Значения коэффициентов детерминации для регрессий с одной и с двумя объясняющими переменными соответственно равны: R² = 0,97 и R² = 0,96. Увеличения значения не произошло. Введение второй переменной не увеличило адекватность модели.

Задача №3

Решить задачу №3 по данным табл. 1 и 2.

3.1. Выписать из табл. 1 временной ряд и построить график в координатах уt (см. табл. 6 и рис. 3).

Таблица 6

t1
yi