Оценка генеральной средней по исправленной выборочной дисперсии

Генеральной дисперсией D_г называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их

среднего значения x_г :

Dr = ²

Выборочной дисперсией D_в называют среднее арифметическое

квадратов отклонений вариант от их среднего значения x_в :

D_в= Dr = ²

Вычисление дисперсий можно упростить, используя теорему:

Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней:

D = х ² -(х )² .

Если выборочную дисперсию умножить на число , то получим

исправленную выборочную дисперсию

S²⁼²

Исправленная выборочная дисперсия является несмещенной статистической оценкой генеральной дисперсии или дисперсии количественного признака Х в генеральной совокупности, ее и принимают в качестве статистической оценки D(Х), т.е.

D(Х) = D_{г =} S².

Статистической оценкой для среднего квадратического отклонения служит исправленное квадратического отклонение S:

s(Х) » S = S² .

Замечание 1. Сравнивая формулы для D_в и S², замечаем, что они отличаются только множителем, стоящим перед суммой. Очевидно, что при достаточно больших значениях n объема выборки выборочная и исправленная дисперсии различаются мало. Поэтому дисперсию исправляют, если n< 30.

Замечание 2. Если первоначальные варианты х_i большие числа, то целесообразно вычесть из всех вариант одно и то же число С, равное выборочной средней или близкое к ней, т.е. перейти к условным вариантам u_i = х_i – C. Тогда

Dв(Х) = Dв(u) = u2 - (u)2 =niui^{2 – (}∑niui)²

• Найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение в примере 1.

De= (3*18² + 4* 20² +5 * 21² + 4 * 22² +10 * 23² + 9 * 25²) – (22.34)²=

=(972+1600+2205+1936+5390+5625)- 499.08 = 503.66 – 499.08=

=4.58

« Исправляем » дисперсию: S² = * 4.58 = 4,71.

Сравнивая D_в и S² замечаем, что «исправление» можно было не проводить, так как дисперсия увеличилась всего на 2,8%.

Исправленное среднее квадратическое отклонение равно:

S=S² = 4,71 = 2,17 .

• nНайдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение в примере 2. Перейдем к условным вариантам u_i = х_i –72,5.

• ² + 4×(-10)² +3×(-5)² +7×0² +5×5² + 2×10² +1×5² )-2² =

D_в= (3×(-15)

= (675+ 400+ 75+0+625+200+25) -2² = - 2² = 80- 4 = 76.

Находим исправленную выборочную дисперсию:

S² = ⁿ-1D_в = 24²⁵ ×76 = 79,17 .

n

Исправленное среднее квадратическое отклонение равно:

S=S² = 9,00.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКЕ

Задано статистическое распределение выборки.

• Найти распределение относительных частот.

• Построить полигон относительных частот.

• Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

• Найти несмещенные статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности.

49) 50)

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

-x2

Таблица значений функции j(x) =

X
0,0	0,3989
0,1
0,2	3 910
0,3	3 814
0,4	3 683
0,5	3 521
0,6	3 332
0,7	3 123
0,8	2 897
0,9	2 661
1,0	0,2420
1,1	21 79
1,2	1 942
1,3	1 714
1,4	1 497
1,5	1 295
1,6	1 109
1,7	0 940
1.8	0 790
1,9
2,0	0 ,0540
2,1	0 440
2,2	0 355
2,3	0 283
2,4	0 224
2,5	0 175
2,6	0 136
2,7	0 104
2,8	0 079
2,9	0 060
3,0	0,0044
3,1	00 33
3,2	00 24
3,3	00 17
3,4	00 12
3,5	00 09
3,6	00 06
3,7	00 04
3,8	00 03
3,9	0 00 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица значений функции F(x)=

x	Ф(х)	х	Ф(х)	Х	Ф(х)	х	Ф(х)
0,00	0,0000	0,32	0,1255	0,64	0,2389	0,96	0,3315
0,01	0,0040	0,33	0,1293	0,65	0,2422	0,97	0,3340
0,02	0,0080	0,34	0,1331	0,66	0,2454	0,98	0,3365
0,03	0,0120	0,35	0,1368	0,67	0,2486	0,99	0,3389
0,04	0,0160	0,36	0,1406	0,68	0,2517	1,00	0,3413
0,05	0,0199	0,37	0,1443	0,69	0,2549	1,01	0,3438
0,06	0,0239	0,38	0,1480	0,70	0,2580	1,02	0,3461
0,07	0,0279	0,39	0,1517	0,71	0,2611	1,03	0,3485
0,08	0,0319	0,40	0,1554	0,72	0,2642	1,04	0,3508
0,09	0,0359	0,41	0,1591	0,73	0,2673	1,05	0,3531
0,10	0,0398	0,42	0,1628	0,74	0,2703	1,06	0,3554
0,11	0,0438	0,43	0,1664	0,75	0,2734	1,07	0,3577
0,12	0,0478	0,44	0,1700	0,76	0,2764	1,08	0,3599
0,13	0,0517	0,45	0,1736	0,77	0,2794	1,09	0,3621
0,14	0,0557	0,46	0,1772	0,78	0,2823	1,10	0,3643
0,15	0,0596	0,47	0,1808	0,79	0,2852	1,11	0,3665
0,16	0,0636	0,48	0,1844	0,80	0,2881	1,12	0,3686
0,17	0,0675	0,49	0,1879	0,81	0,2910	1,13	0,3708
0,18	0,0714	0,50	0,1915	0,82	0,2939	1,14	0,3729
0,19	0,0753	0,51	0,1950	0,83	0,2967	1,15	0,3749
0,20	0,0793	0,52	0,1985	0,84	0,2995	1,16	0,3770
0,21	0,0832	0,53	0,2019	0,85	0,3023	1,17	0,3790
0,22	0,0871	0,54	0,2054	0,86	0,3051	1,18	0,3810
0,23	0,0910	0,55	0,2088	0,87	0,3078	1,19	0,3830
0,24	0,0948	0,56	0,2123	0,88	0,3106	1,20	0,3849
0,25	0,0987	0,57	0,2157	0,89	0,3133	1,21	0,3869
0,26	0,1026	0,58	0,2190	0,90	0,3159	1,22	0,3883
0,27	0,1064	0,59	0,2224	0,91	0,3186	1,23	0,3907
0,28	0,1103	0,60	0,2257	0,92	0,3212	1,24	0,3925
0,29	0,1141	0,61	0,2291	0,93	0,3238	1,25	0,3944
0,30	0,1179	0,62	0,2324	0,94	0,3264
0,31	0,1217	0,63	0,2357	0,95	0,3289
1,26	0,3962	1,59	0,4441	1,92	0,4726	2,50	0,4938
1,27	0,3980	1,60	0,4452	1,93	0,4732	2,52	0,4941
1,28	0,3997	1,61	0,4463	1,94	0,4738	2,54	0,4945
1,29	0,4015	1,62	0,4474	1,95	0,4744	2,56	0,4948
1,30	0,4032	1,63	0,4484	1,96	0,4750	2,58	0,4951
1,31	0,4049	1,64	0,4495	1,97	0,4756	2,60	0,4953
1,32	0,4066	1,65	0,4505	1,98	0,4761	2,62	0,4956
1,33	0,4082	1,66	0,4515	1,99	0,4767	2,64	0,4959
1,34	0,4099	1,67	0,4525	2,00	0,4772	2,66	0,4961
1,35	0,4115	1,68	0,4535	2,02	0,4783	2,68	0,4963
1,36	0,4131	1,69	0,4545	2,04	0,4793	2,70	0,4965

1,38	0,4162	1,71	0,4564	2,08	0,4812	2,74	0,4969
1,39	0,4177	1,72	0,4573	2,10	0,4821	2,76	0,4971
1,40	0,4192	1,73	0,4582	2,12	0,4830	2,78	0,4973
1,41	0,4207	1,74	0,4591	2,14	0,4838	2,80	0,4974
1,42	0,4222	1,75	0,4599	2,16	0,4846	2,82	0,4976
1,43	0,4236	1,76	0,4608	2,18	0,4854	2,84	0,4977
1,44	0,4251	1,77	0,4616	2,20	0,4861	2,86	0,4979
1,45	0,4265	1,78	0,4625	2,22	0,4868	2,88	0,4980
1,46	0,4279	1,79	0,4633	2,24	0,4875	2,90	0,4981
1,47	0,4292	1,80	0,4641	2,26	0,4881	2,92	0,4982
1,48	0,4306	1,81	0,4649	2,28	0,4887	2,94	0,4984
1,49	0,4319	1,82	0,4656	2,30	0,4893	2,96	0,4985
1,50	0,4332	1,83	0,4664	2,32	0,4898	2,98	0,4986
1,51	0,4345	1,84	0,4671	2,34	0,4904	3,00	0,49865
1,52	0,4357	1,85	0,4678	2,36	0,4909	3,20	0,49931
1,53	0,4370	1,86	0,4686	2,38	0,4913	3,40	0,49966
1,54	0,4382	1,87	0,4693	2,40	0,4918	3,60	0,499841
1,55	0,4394	1,88	0,4699	2,42	0,4922	3,80	0,499928
1,56	0,4406	1,89	0,4706	2,44	0,4927	4,00	0,499968
1,57	0,4418	1,90	0,4713	2,46	0,4931	4,50	0,499997
1,58	0,4429	1,91	0,4719	2,48	0,4934	5,00	0,499997