Пример применения двухшагового метода наименьших квадратов к модели, включающей сверхидентифицированное уравнение

Рассмотрим конкретный пример оценивания сверхидентифицированного уравнения системы с помощью 2МНК. Для этого в модель спроса и предложения введем новую независимую переменную R_t , которая характеризует благосостояние потребителей:

Таким образом, первое уравнение данной модели является сверхидентифицированным, что не позволяет применять к его оценке МНК. Определение оценок функции предложения будет проходить в несколько этапов:

1) запишем исходную модель спроса и предложения в приведенной форме:

Из второго уравнения приведенной формы модели можно найти расчетные значения :

Тогда второе уравнение приведенной формы можно записать в виде:

С учетом расчетных значений сверхидентифицированное уравнение предложения можно записать в виде:

или

где

Следовательно, переменную можно считать инструментальной переменной, так как:

а) тесно коррелирует с P_t , потому что является линейной комбинацией независимых переменных I_t , P_{t − 1} и R_t ;

б) не коррелирует со случайной составляющей u_1t ;

2) с помощью обычного МНК определим коэффициенты уравнений приведенной формы модели:

3) определим расчетные значения , подставив во второе уравнение приведенной формы фактические значения переменных I_t , P_{t − 1} и R_t и добавим их к данным таблицы 5;

4) применим обычный метод наименьших квадратов к уравнению предложения с инструментальной переменной:

В результате получим оцененное структурное уравнение предложения:

Рассчитаем коэффициент множественной детерминации для данного уравнения: R² = 0,944. Таким образом, полученное уравнение предложения на 94,4% объясняет дисперсию зависимой переменной в общем объеме ее дисперсии. Неизвестные коэффициенты точно идентифицированного уравнения спроса можно найти и с помощью двухшагового МНК, и с помощью косвенного МНК. Найдем оценки структурного уравнения спроса с помощью двухшагового МНК:

Тогда

Рассчитаем коэффициент множественной детерминации для данного уравнения:R² = 0,872. Таким образом, полученное с помощью ДМНК уравнение спроса на 87,2% объясняет дисперсию зависимой переменной в общем объеме ее дисперсии.

Найдем оценки структурного уравнения спроса с помощью косвенного метода наименьших квадратов. Выразим из второго уравнения приведенной формы модели переменную P_{t − 1}:

Подставим данное выражение в первое уравнение приведенной формы модели вместо P_{t − 1}:

Таким образом, оценки структурного уравнения спроса, полученные разными методами, абсолютно одинаковы.

Запишем оцененную структурную форму модели:

Контрольные вопросы

1. Какие переменные называются эндогенными и предопределенными?

2. Что представляет собой структурная форма модели?

3. Что представляет собой приведенная форма модели?

4. В чем заключается проблема идентифицируемости модели?

5. Как проверяется идентифицруемость уравнений модели?

6. Какие методы применяются для нахождения структурных коэффициентов модели для различных видов систем уравнений?

7. Что представляет собой косвенный МНК?

8. Что представляет собой двухшаговый МНК?

9. Какие требования предъявляются к инструментальным переменным в двухшаговом МНК?