Тема 8. статистические индексы

8.1. Понятие и виды статистических индексов

8.2. Обусловленность выбора весов при построении индексов

8.3. Индексы агрегатные и средние

8.4. Система динамических индексов

8.5. Индексы постоянного и переменного состава

8.1. Индекс (index) (лат.) – означает показатель, указатель.

Индекс – это относительная величина, характеризующая средние изменения массовых исследуемых явлений, состоящих из непосредственно несоизмеримых элементов.

Статистический индекс построен на двух составляющих:

- индексируемой величины – показатель, изменение которого характеризуется индексом (содержится в самом названии) (цена, физический объём продукции);

- коэффициента соизмерения (весов) – величина, позволяющая привести разнородные элементы в сопоставимый вид.

В целом индексный метод решает следующие задачи:

- даёт обобщающую характеристику изменения сложного социально-экономического явления;

- анализирует степень влияния отдельных факторов на изменение динамики сложного явления

- измеряет динамику среднего показателя;

- измеряет соотношение показателей по разным регионам.

В статистике принято обозначать: iи I- индексы индивидуальные и сводные (агрегатные); р - цена единицы продукции; q - физического объёма продукции; c (z) - себестоимости единицы продукции; T (tq) - общие затраты времени на производство продукции или численность работников; t - затраты времени на единицу продукции; pq - стоимость продукции (товарооборот); У - урожайность отдельных культур или продуктивность животных; П (S) - посевная площадь; S - численность животных; W - выработка продукции на одного работника (производительность труда). Индексы с нижней степенью 1, указывают на отношение к отчётному периоду, со степенью 0 –базисному.

8.2. Все индексы можно классифицировать по степени охвата явления, базе сравнения, виду соизмерителей (весов), форме построения, характеру объёма исследования, объекту исследований, составу явления, периоду исчисления.

По степени охвата – различают индивидуальные, общие и групповые.

Индивидуальные (i) – относительное изменение отдельного единичного элемента сложной совокупности (i_р = р₁/р₀ - цены; i_q = q_1/q_0- физического объёма;i_w = w₁ /w₀ - производительности; i_y =У₁/У₀ – урожайности)

Все индивидуальные индексы по сути являются относительными величинами динамики: коэффициентами (темпами) роста.

Общие (сводные) (I) –характеризуют относительное изменение индексируемой величины в целом по сложной совокупности, отдельные элементы которой несоизмеримы в физических единицах (кг молока и м³ древесины и т.д.).

I_р = Σр₁q₁/p₀q₁ (индекс цен); I_pq = Σp₁q₁/p₀q₀ (товарооборота)

Групповые (I) – характеризуют относительное изменение не всех элементов совокупности, а только их часть, группу, имеющих определённую качественную общность, но непосредственно несоизмеримых между собой (индивидуальные цены на продукты и промышленные товары).

I_р = Σр₁q₁/p₀q₁ (индекс цен по отдельным группам товаров)

По базе сравнения – различают динамические – отражающие изменение явления во времени (физический объём продукции в 2004 по сравнению с 2003 г. ):i_q = q₁/q₀; i_q =q₂/q₁и т.д. Бывают базисными и цепными.

Территориальные – характеризуют пространственные, межрегиональные сопоставления различных показателей (цены на зерно в России по сравнению с ценами в Италии). I_A/B = p_аq_а/p_вq_а где: а и б – данные по разным территориям

По характеру весов - различают индексы с постоянными и переменными весами. С постоянными – система сводных индексов одного и того же явления, последовательно вычисленных с весами, не меняющимися при переходе от одного индекса к другому. Постоянные веса позволяют исключить влияние изменения структуры на величину индекса.

(система базисных индексов физического объёма с постоянными весами):

I_q = Σq₁p₀/Σq₀p₀; Σq₂p₀/Σq₀p₀; ... Σq_np₀/Σq₀p₀;

(система цепных индексов физического объёма с постоянными весами):

I_q = Σq₁p₀/Σq₀p₀; Σq₂p₀/Σq₁p₀; ... Σq_np₀/Σq_n-1p₀;

Переменными - система сводных индексов одного и того же явления, вычисленных с весами, последовательно меняющимися при переходе от одного индекса к другому. Постоянные веса – это веса отчётного периода.

(система базисных индексов цен с переменными весами):

I_p = Σp₁q₁/Σp₀q₁; Σp₂q₂/Σp₀q₂; … Σp_nq_n/Σp₀q_n;

(система цепных индексов цен с переменными весами):

I_p = Σp₁q₁/Σp₀q₁; Σp₂q₂/Σp₁q₂; … Σp_nq_n/Σp_n-1q_n;

Составу явления – выделяют группы индексов постоянного (фиксированного), переменного состава и структурных сдвигов.

- индексы постоянного состава – отражают динамику среднего показателя за счёт изменения одной лишь индексируемой величины (х), при фиксировании весов (f) на уровне отчётного периода: I^фс = Σx₁f₁/Σf₁ : Σx₀f₁/Σf₁

- индексы переменного состава – отражают динамику среднего показателя за счёт изменения и индексируемой величины, и весов, по которым взвешиваются отдельные значения. Любой индекс переменного состава – это отношение двух величин для однородной совокупности за два периода или по двум территориям: I^пс = Σx₁f₁/Σf₁ : Σx₀f₀/Σf₀

- индексы структурных сдвигов - отражают динамику среднего показателя за счёт изменения одних лишь весов при фиксировании индексируемой величины на уровне базисного периода: I^сс = Σx₀f₁/Σf₁ : Σx₀f₀/Σf₀

8.3. По форме построения – различают индексы агрегатные и средние.

Агрегатные индексы – это сложный относительный показатель, характеризующий среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов – это основная форма экономических индексов.

I_p = Σp₁q₁/Σp₀q₁; I_q = Σq₁p₀/Σq₀p₀; I_qр = Σq₁p₁/Σq₀p₀

Средние индексы – представляют собой средневзвешенную величину из индивидуальных индексов. Они рассчитываются по формулам среднего арифметического и среднего гармонического показателей, но в обоих случаях являются производными от агрегатных индексов:

- cредние арифметические индексы физического объёма продукции –

I_q = Σi_qq₁p₀ /Σq₀p₀; производительности труда – I_t = Σi_tt₀q₁/Σt₁q₁;

- cредние гармонические индексы - цены: I_p = Σp₁q₁/(Σp₁q_1/i_p); cебестоимости – I_z = Σz₁q₁/(Σz₁q_1/i_z).

По характеру объёма исследования общие индексы подразделяются на индексы количественных индексируемых величин, характеризующих изменение числа совокупности (; I_П I_S I_сс и др.), и качественных показателей, характеризующих уровень изменения изучаемого результативного признака, а также свойств единиц совокупности (I_р; I_у I_z I_t и др.).

По объекту исследования – различают индексы производительности труда, себестоимости, физического объёма, цены, товарооборота и т.д.

По периоду исчисления можно подразделить на годовые, квартальные месячные и т.д.

Выбор базы сравнения и весов – важнейшие методологические вопросы построения системы индексов (ряд последовательно построенных индексов), используемой при изучении динамики явлений.

В зависимости от базы сравнения различают систему цепных и базисных индексов. Базисные – дают более наглядную характеристику общей тенденции развития исследуемого явления; цепные – чётчё отражают последовательность изменения уровней во времени. И те и другие могут быть построены для индивидуальных и общих индексов.

Базисные: индивидуальные индексы цен: i_p = р₁/р₀;р₂/р₀;…р_n/p₀;

сводные - I_p = Σp₁q₀/Σp₀q₀; Σp₂q₀/Σp₀q₀; … Σp_nq_n/Σp₀q₀;

Цепные: индивидуальные индексы цен: i_p = р₁/р₀;р₂/р₁;…р_n/p_n-1;

сводные индексы цен - I_p = Σp₁q₁/Σp₀q₁; Σp₂q₂/Σp₁q₂; … Σp_nq_n/Σp_n-1q_n

При построении статистических индексов учитывают взаимосвязи между цепными и базисными, выражающие реально существующие зависимости между явлениями: если, например, известны цепные, то перемножая их можно получить базисные (р₁/р₀ × р₂/р₁ = р₂/р₀), а зная последовательные значения базисных, можно получить цепные – р₂/р₀ :р₁/р₀ =р₂/р₁. Кроме того, ввиду особенностей содержания и характера изучаемых показателей, принимают во внимание индексы показателей количественных и качественных.

Исходя из этого существует правило в отношении выбора периода, к которому относится со измеритель: 1) при построении агрегатных индексов качественных показателей, весы, как правило, - количественные показатели, - принимаются на уровне отчётного периода (I_p = Σp₁q₁/Σp₀q₁); 2) при построении агрегатных индексов количественных показателей, весы, - качественные показатели, - принимаются на уровне базисного периода (I_q = Σq₁p₀/Σq₀p₀). Если в качестве весов используют цены, то вместо цен базисного периода можно использовать неизменные (сопоставимые) цены.

По форме построения различают индексы агрегатные и средние.

Агрегатные – сложный относительный показатель, характеризующий среднее изменение явлений, приведенных с помощью весов в сопоставимый вид. Особенность в том, что здесь непосредственно сравниваются две суммы одноимённых показателей. Числитель и знаменатель – это сумма произведений двух величин, одна из которых меняется – индексируемая, другая остаётся неизменной и в числителе и в знаменателе – вес индекса.

Методика построения предусматривает решение трёх вопросов:

1) по какому составу разнородных элементов строить индекс;

2) какая величина будет индексируемой;

3) что будет служить весом при расчёте индекса.

При выборе веса необходимо руководствоваться правилом, изложенным в конце предыдущего вопроса.

Агрегатные индексы могут быть рассчитаны как средневзвешенные из индивидуальных.

8.4. Основными агрегатными индексами, на основе которых строятся большинство других, являются индексы физического объёма продукции, цены и товарооборота.

Индекс физического объёма продукции: количественный показатель, где индексируемой величиной является количество продукции в натуральном выражении, а весом – цена: I_q = Σq₁p₀/Σq₀p₀;

В числителе – условная величина, характеризующая стоимость продукции отчётного периода в базисных ценах, в знаменателе – стоимость продукции базисного периода. Показывает: во сколько раз изменилась стоимость продукции из-за изменения объёма производства, либо продажи, или сколько процентов составило это изменение. Если из значения вычесть 100, то разность покажет на сколько процентов произошёл рост (снижение) стоимости продукции отчётного периода по сравнению с базисным. Разность числителя и знаменателя характеризует изменение показателя в денежном выражении.

Индекс цен: качественный показатель, где индексируемая величина – цена продукции, весы – её объём в абсолютном выражении (I_p = Σp₁q₁/Σp₀q₁).

В числителе – величина, характеризующая стоимость продукции отчётного периода, в знаменателе – условная величина. Показывает: во сколько раз изменилась стоимость всей продукции отчётного периода по сравнению с базисным, в связи с изменением цен по каждому продукту, или сколько процентов составило это изменение. Если из значения вычесть 100, то разность покажет: на сколько процентов возросла (снизилась) стоимость продукции отчётного периода по сравнению с базисным из-за изменения цен. Разность числителя и знаменателя будет характеризовать абсолютное изменение показателя.

Индекс стоимости продукции (товарооборота) – отношение стоимости продукции отчётного периода к её стоимости за базисный период.

I_qр = Σq₁p₁/Σq₀p₀

Показывает, во сколько раз возрос (снизился) товарооборот отчётного периода по сравнению с базисным или сколько процентов составило изменение, или, если вычесть из значения 100, - на сколько процентов изменилась стоимость продукции. Абсолютное изменение товарооборота определяется разностью между числителем и знаменателем.

Величин индекса стоимости продукции зависит от её физического объёма и уровня цен, что и определяет взаимосвязь между ними (произведение цены на количество товара даёт его стоимость): I_{p ×} I_q = I_qр

Σp₁q₁/Σp₀q₁ × Σq₁p₀/Σq₀p₀ =Σq₁p₁/Σq₀p₀

Помимо агрегатных индексов в статистике применяется другая их форма – средневзвешенная – индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. При этом, агрегатный – является основной формой общего индекса, поэтому, средний, - тождественен агрегатному.

Применяют в случае, когда имеющаяся информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс по причине: 1) если отсутствуют данные о ценах для каждого вида продукции, но имеется информация о стоимости её в текущем периоде и известны индивидуальные индексы цен по каждому товару, то возможно исчислить его как средний гармонический из индивидуальных

(I_гарм. =∑M/∑m/i);

2)если не известно количество произведенной продукции, по видам, но известны индивидуальные индексы физического объёма по каждому товару и стоимость продукции базисного периода, то можно определить общий индекс физического объёма как среднеарифметический взвешенный (I_арифм. =∑i×f/ /∑f), где: i– индивидуальные индексы; f; M; m – весы, соответственно арифметического и гармонического индексов.

При построения средневзвешенного индекса физического объёма продукции должно проявляться тождество: Σi_qq₁p₀ /Σq₀p_{0 =} I_q = Σq₁p₀/Σq₀p₀, имею- щее место в том случае, если f = q₀p₀. Из индивидуального индекса объёма (i_q =q₁/q_o) находим q₁=i_q×p_o. Подставляя выражение в формулу, получим общий индекс физического объёма (Σi_qq₁p₀ /Σq₀p₀) в форме среднеарифметического.

Для нахождения среднего гармонического индекса цен также необходимо, что бы величина последнего совпала с агрегатным. Выражая из формулы индивидуальных индексов цен (i_p=p₁/p_o) неизвестное значение p_o=p₁/i_p, подставляют в знаменатель агрегатной формулы, получая средний гармонический индекс цен (по Пааше): I_p = Σp₁q₁/(Σp₁q_1/i_p).

Средние арифметические индексы чаще применяются для расчёта сводных количественных показателей, а из качественных – для исчисления производительности труда. Индексы других качественных показателей (цены, себестоимости и т.д.) определяют по формуле средней гармонической взвешенной.

При изучении развития экономических явлений в динамике, возникает необходимость исчисления системы динамических индексов – индексы, рассчитанные за несколько временных периодов по единой схеме, при которой достигается сопоставимость.

При наличии данных за несколько периодов, индексы, как и коэффициенты роста могут быть рассчитаны цепным и базисным вариантом; определены с постоянной и переменной базой сравнения.

Если в качестве веса используют показатель одного и того же периода – получают индекс с постоянными весами. Если от индекса к индексу, в качестве веса, применяют показатель другого периода – получают индекс с переменными весами. При этом индексы качественных показателей строятся преимущественно с переменными весами (т.к. в них применяются веса текущих периодов), объёмных показателей - с весами базисного периода.

В зависимости от информационной базы и целей исследования система индексов может строится в 4-х вариантах.

Будучи сводной характеристикой качественного показателя, средняя величина складывается под влиянием значений индивидуальных элементов, составляющих объект, и под влиянием соотношения их весов. Поэтому динамику среднего показателя можно отразить как за счёт изменения индексируемой величины и его весов, так и каждого отдельно, в результате получают три различных индекса: постоянного, переменного составов и структурных сдвигов, применяемые для анализа, характеристики качественных показателей.

8.5. Индексы переменного состава – отражают динамику среднего показателя для однородной совокупности как за счёт изменения и индексируемой величины у отдельных элементов, так и за счёт весов по которым они взвешиваются. Любой индекс переменного состава – это отношение двух величин для однородной совокупности за два периода или по двум территориям:

I_У^пс = ΣУ₁П₁/ΣП₁ : ΣУ₀П₀/ΣП₀ = У₁ : У₀(урожайности),

(где: ΣУП/ΣП – средняя урожайность)

Отражает изменение средней урожайности группы однородных культур как за счёт изменения урожайности по каждой культуре, так и за счёт изменения структуры посевных площадей.

Выражение: ΣУ₁П₁/ΣП₁ - ΣУ₀П₀/ΣП₀, - будет характеризовать изменение среднего показателя в абсолютном выражении.

Индексы постоянного (фиксированного) состава – отражают динамику среднего показателя лишь за счёт изменения индексируемой величины, при фиксировании весов на уровне, как правило, отчётного периода. Также рассчитывают для двух периодов, при одной и той же фиксированной структуре:

I_У^фс = ΣУ₁П₁/ΣП₁ : ΣУ₀П₁/ΣП₁

(где: ΣУ₀П₁/ΣП₁ – условная величина, характеризующая, урожайность базисного

периода пи отчётной структуре посевных площадей)

Сократив формулу на ΣП, получим индекс урожайности фиксированного состава в агрегатной форме: I_У^фс = ΣУ₁П₁/ΣУ₀П₁.

Разность между числителем и знаменателем определяет физическое изменение среднего показателя.

Разделив индекс переменного состава на индекс фиксированного состава, получим индекс структуры.

Индексы структурных сдвигов - отражают динамику среднего показателя за счёт изменения лишь одних весов при фиксировании индексируемой величины на уровне базисного периода: I^сс = (ΣУ₀П₁/ΣП₁) : (ΣУ₀П₀/ΣП₀)или ∑S₁У₀/∑У₀S₀ : ∑S₁/∑S₀.

Выражение: ∑У₀S₁-(∑У₀ ×∑S₁), - характеризует изменение среднего показателя, вызванное влиянием структурных явлений.

Между индексами переменного, фиксированного составов и структурных сдвигов существует зависимость, выраженная:

I_У^пс = I_У^фс × I^сс или I_У^пс : I_У^фс = I^сс или I_У^фс = I_У^пс : I^сс

Пример. По табличным данным произвести факторный анализ валового сбора пищевых яиц. Определить влияние яйценоскости, размера и структуры стада на данный показатель.

Птицефабрика	Среднегодовое поголовье, тыс. гол.	Яйценоскость, шт.	Валовой сбор яиц, тыс. шт.
S0	S1	У0	У1	У0S0	У1S1	У0S1
№ 1 № 2
∑ среднее	-	-	-	-	-	-	-

Индекс валового сбора (I_вс = ∑S₁У₁/∑У₀S₀ = 110200/78000=1.4126) увеличился на 41,26%; увеличение в абсолютном размере (∆_вс = ∑S₁У₁ - ∑У₀S₀) составило 32200 тыс. шт. При этом за счёт яйценоскости (I_у = ∑S₁У₁/∑У₀S₁) сбор продукции возрос на 17,23% (110200/94000) или на 16200 тыс. шт. (∆_у = ∑S₁У₁ - ∑У₀S₁), о чём свидетельствует и рост уровня средней урожайности, что отражено индексом урожайности переменного состава: I_у=(∑S₁У₁/∑S₁): (∑У₀S₀/S₀).

Изменение численности поголовья и сложившаяся структура также положительно повлияли на валовой сбор (I_sc = ∑S₁У₀/∑У₀S₀), который увеличился на 20,51% или 16000 тыс. шт. (∆_sc = ∑S₁У₀ - ∑У₀S₀). Использование при проверке правила взаимосвязи между индексами (I_вс = I_у×I_sc = 1,4126;∆_ВС = ∆_у+∆sc = 16200+16000=32200), показало правильность расчётов.

Для более детального изучения влияния численности и структуры стада, необходимо воспользоваться соответствующими индексами. Так, численность поголовья составила 120% (I_s = S₁/S₀ = 480/400=1.20) к уровню базисного периода.

Увеличение численности также положительно отразилось и на абсолютном показателе (∆_вс = (∑S₁-∑S₀)×У₀ = (480-400) ×195 =15600), уровень которого возрос на 15600 тыс. шт. яиц.

В то же время сложившаяся структура стада не оказала существенного влияния на производство (I_cc= (∑S₁У₀/∑S₁) : (∑У₀S₀/S₀) или∑S₁У₀/∑У₀S₀ : ∑S₁/∑S₀ = 94000/480 : 78000/400 или 94000/78000 :480/400 = 1.0043), о чём свидетельствует незначительно изменившийся (100.43%) индекс структуры, что в физической массе (∆_вс^сс = ∑У₀S₁-(∑У₀ ×∑S₁) или ∆_вс^сс = ∆_вс^sc-∆_вс^с = 94000-(195×480) или 16000-15600 = 400) соответствовало лишь 400 тыс. штук яиц.

Анализ взаимосвязи индексов, характеризует верность произведенных исчислений: I_вс=.I_у×I_sc×I_c = 1.17×1.2051×1.0043=1,4126; ∆_вс = ∆_у+∆s+∆с= 16200+15600+400=32200 тыс. штук.