Непрерывной случайной величины

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Высшая математика»

Составители: Ю.Б. Егорова

И.М. Мамонов

А.В. Челпанов

МОСКВА 2009

Егорова Ю.Б., Мамонов И.М., Челпанов А.В. Показательный закон распределения:Методические указания к практическим занятиямпо дисциплине «Высшая математика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов, А.В. Челпанов. М.: МАТИ, 2009. 12 с.

ÓЕгорова Ю.Б.,

Мамонов И.М.,

составление, 2009

ÓМАТИ, 2009

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделений факультета №14 специальностей 150601, 160301, 230102. Указания выделяют основные понятия темы, определяют последовательность изучения материала. Большое количество рассмотренных примеров помогает в практическом освоении темы. Методические указания служат основой для практических занятий и выполнения индивидуальных заданий.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

1.1.Показательный (экспоненциальный) закон распределенияиграет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности.

Примеры случайных величин, имеющих показательный закон распределения: время ремонта устройств, время безотказной работы элементов, продолжительность телефонных вызовов, атомный распад радиоактивных веществ, живучесть существ и т.п.

1.2. Плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения) имеет вид:

где λ - параметр распределения. Если параметр λ известен, функция f(х)полностью определена.

График функции f(х)приведен на рис.1, а.

1.3.Интегральная функция распределения вероятностей имеет вид:

График функции F(х)приведен на рис. 1, б.

λ

1.4.Числовые характеристикислучайной величины, имеющей показательный закон распределения:

Mатематическое ожидание и среднее квадратическое отклонениесовпадают:

Дисперсия:

МодаМо=0.

Медиана

Коэффициент ассиметрииА=2.

Коэффициент эксцессаe=9, эксцесс Е=e–3=6.

2. Вероятность попадания в заданный интервал: вероятность того, что случайная величина Х, имеющая показательный закон распределения, попадет в заданный интервал (a,b), равна:

ПРИМЕР 1.Установлено, что время ремонта телевизоров – это непрерывная случайная величина Х, распределенная по показательному закону. Среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней.

а) Найти интегральную и дифференциальную функции распределения.

б) Построить кривую распределения и график интегральной функции распределения.

в) Найти числовые характеристики.

г) Определить вероятность того, что на ремонт телевизора понадобится не менее 20 дней. Проиллюстрировать решение задачи графически.

Решение.

а) Найдем сначала параметр λ. По условию задачи математическое ожидание:

Тогда параметр λ:

Плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения) имеет вид:

Интегральная функция распределения вероятностей имеет вид:

б) Графики функций f(х) и F(х)приведены на рис. 2.

в) Числовые характеристики:

Mатематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение совпадают:

Дисперсия:

Мода Мо=0 дней.

Медиана

Коэффициент ассиметрии А=2.

Коэффициент эксцесса e=9, эксцесс Е=e–3=6.

г) Определим вероятность того, что на ремонт телевизора понадобится не менее 20 дней:

На графике f(х)(рис. 2, а)заштрихованная площадь численно равна На графике F(х)(рис. 2, б)искомая вероятность численно равна выделенному отрезку.