Контрольные задания по темам

(подготовительные варианты)

Приведенные ниже задания предназначены для подготовки
(самостоятельной или под руководством преподавателя) к контрольным работам по изученным темам.

Тема 1. «Развитие понятие о числе»

1. Укажите одно рациональное и одно иррациональное число:

а. принадлежащее промежутку ;

б. не принадлежащее промежутку .

2. Сравните числа:

а. и ;

б. и .

3. Приведите (если это возможно) пример прямоугольника, у которого:

а. и периметр, и площадь выражаются иррациональными числами;

б. периметр – иррациональное число, а площадь – рациональное число;

в. периметр – рациональное число, а площадь – иррациональное число;

г. и периметр, и площадь выражаются рациональными числами.

4. Решите уравнения на множестве действительных чисел:

а. ;

б. .

5. Решите уравнения на множестве комплексных чисел:

а. ;

б. .

6. Выяснить, замкнуты ли относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления множества:

а. целых чисел, кратных трем;

б. .

7. Вычислите:

а.

б.

Тема 2. «Корни, степени, логарифмы»

Задание №1

1. Значение равно:

а. 4

б. 2

в.

г.

2. Область значений функции :

а.

б.

в.

г.

3. Убывающей является функция:

а.

б.

в.

г.

4. Решением уравнения является число:

а.

б.

в.

г.

5. Значение равно:

а.

б. 4

в.

г.

6. Найдите область определения функции :

а.

б.

в.

г.

7. Множеством решений неравенства является промежуток:

а.

б.

в.

г.

8. Положительным является число:

а.

б.

в.

г.

9. Решением уравнения является:

а.

б.

в.

г.

10. Справедливо ли, что

а.

б.

в.

г. нельзя сравнить

Задание № 2

1. Постройте эскиз графика функции:

а. ;

б. .

2. Сравните числа:

а. и ;

б. и .

3. Решите уравнения:

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

д.

4. Вычислите:

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

5. Решите неравенства:

а. ;

б. .

Тема 3. «Элементы комбинаторики»

1. Вычислите:

а. ;

б. ;

в. .

2. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:

а. каждый здоровался с каждым;

б. только один человек не здоровался ни с кем;

в. только двое не поздоровались между собой;

г. четверо поздоровались только между собой.

3. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

4. «Вороне где-то Бог послал кусочек брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»:

а. если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придётся
выбирать;

б. сколько получится «бутербродов» из двух кусочков (бутербродом
считать набор из двух кусочков);

в. если съесть сразу три кусочка, а оставшийся спрятать, то из скольких
вариантов придётся выбирать;

г. сколько получится вариантов, если какой-то кусочек всё-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос пункта a.

Тема 4. «Прямые, плоскости и углы в пространстве»

1. Треугольник – правильный со стороной 4. Из точки проведен перпендикуляр к плоскости . .

а. найдите расстояние от точки до прямой ;

б. каково взаимное расположение прямых и ?

2. Дан куб .

а. Определите взаимное расположение прямых и ;

б. Определите взаимное расположение прямых и ;

в. Определите взаимное расположение прямых и ;

г. Определите взаимное расположение прямой и плоскости ;

д. Определите взаимное расположение прямой и плоскости ;

е. Найдите тангенс угла наклона между прямой и плоскостью , если ;

ж. Найдите угол между плоскостями и , если .

Тема 5. «Основы тригонометрии»

1. Определите знак числа.

а. ;

б. ;

в. .

2. Дано: Найдите .

3. Вычислите:

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

4. Упростите выражения:

а. ;

б. ;

в. .

5. Решите уравнения:

а. ;

б. ;

в. ;

г. ;

д. .

Тема 6. «Координаты и векторы»

1. Дана точка . Найдите координаты точки – проекции точки на плоскость и координаты точки – проекции точки на ось .

2. Даны точки и . Разложите вектор по векторам .

3. Найти координаты середины отрезка , если , .

4. ­ – параллелепипед. Укажите какой-нибудь вектор с началом и концом в вершинах параллелепипеда, который был бы компланарен с
векторами и .

5. ­ – параллелепипед. Найдите .

6. Найти угол между векторами и .

Тема 7. «Функции, их свойства и графики»

Задание №1

Функция задана графически. Исследуйте функцию. Укажите:

а. область определения;

б. множество значений;

в. промежутки монотонности
(промежутки возрастания и убывания);

г. нули функции;

д. промежутки знакопостоянства;

е. является ли эта функция четной,
нечетной или общего вида;

ж. точки экстремума, экстремумы функции;

з. наибольшее и наименьшее значения функции;

и. значения , при которых значение функции равно 1;

к. чему равны (по графику);

л. при каких значениях , уравнение :

- не имеет корней;

- имеет один корень;

- имеет два корня.

Задание №2

1. Постройте график функции, найдите множество значений, промежутки возрастания, убывания, точки экстремума.

а. ;

б. ;

в. ;

2. Найдите область определения функции:

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

3. Исследуйте функцию на четность/нечетность.

а. ;

б. ;

в. .

Тема 8. «Многогранники и тела вращения»

1. Изобразите многогранник, состоящий из правильной треугольной призмы и пирамиды, основанием которой является верхнее основание призмы. Укажите сколько граней и сколько ребер у полученного многогранника.

2. Изобразите куб и в нем выделите цветом треугольную
пирамиду с вершиной , у которой три грани – прямоугольные
треугольники.

3. Куб и цилиндр расположены так, что четыре его вершины лежат на
окружности верхнего основания, а другие четыре вершины – на окружности нижнего основания. Изобразите данную комбинацию фигур. Для любого ли цилиндра можно подобрать куб, который удастся так расположить?

4. Четырехугольная пирамида и конус расположены так, что их вершины
совпадают, а окружность основания конуса вписана в основание пирамиды.
Изобразите данную комбинацию фигур.

Тема 9. «Начала математического анализа»

Задание №1

1. Найдите производную функции:

а. ;

б. ;

в. ;

г. ;

д. ;

е. ;

ж. ;

з. .

Задание №2

1. Касательной к графику функции в точке с абсциссой является прямая:

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

2. Тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой равен:

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

3. Производная функции равна:

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

4. Укажите точку максимума функции :

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

5. Наибольшее значение функции на отрезке равно:

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

6. Функция убывает на промежутке:

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

7. Укажите экстремум функции :

а. ;

б. ;

в. ;

г. .

Задание №3

Исследуйте функцию и постройте ее график (по схеме).[2]
Схема исследования функции:

а. Область определения

б. Множество значений

в. Четность

г. Периодичность

д. Нули функции

е. Промежутки знакопостоянства

ж. Производная

з. Стационарные точки. Критические точки

и. Промежутки монотонности

к. Точки экстремума

л. Экстремумы

м. Вторая производная *

н. Промежутки выпуклости *

о. Точки перегиба *

п. Значение функции в точках перегиба *

р. График и дополнительные точки

с. Наибольшее и наименьшее значения

т. Асимптоты *

Задание №4

1. Найдите все первообразные для функции:

а. ;

б. .

2. Найдите такую первообразную функции , что ее график пересекает ось ординат в точке с ординатой .

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями (рисунок обязателен!).

а. , Ось ;

б. .

Тема 10. «Элементы вычислительной геометрии»

Задание №1

1. Дана правильная четырехугольная призма , , .

а. изобразите данную призму;

б. найдите площадь боковой поверхности призмы;

в. найдите объем призмы;

г. объясните, как надо выбрать точку на ребре и точку на ребре так, чтобы многогранник был призмой объема 3.

2. Дана правильная четырехугольная пирамида, стороны основания и высота которой равна 4.

а. изобразите данную пирамиду;

б. найдите объем пирамиды;

в. найдите площадь поверхности пирамиды.

Задание №2

1. Радиус основания цилиндра равен 2, ось равна 3.

а. изобразите цилиндр;

б. найдите объем данного цилиндра;

в. найдите площадь поверхности данного цилиндра.

2. Найдите объем и площадь поверхности конуса, если осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной 4.

3. Найдите радиус и площадь поверхности шара, объем которого равен .

Тема 11. «Элементы теории вероятностей и математической статистики»

1. Девять учащихся получили за зачет оценки: 3, 1, 2, 2, 4, 4, 5, 3, 4.

а. отразите данные на круговой и на столбчатой диаграмме;

б. найдите размах, моду и медиану ряда оценок. Найдите среднее арифметическое полученных оценок;

в. последовательно выписываются фамилии указанных девяти учащихся. Сколько есть способов составить список? Какова вероятность того, что при том, что список составляется случайным образом, первым в нем окажется тот, кто лучше всех написал эту контрольную?

г. определите вероятность того, что случайно выбранный учащийся этой группы получил тройку;

д. Перед контрольной каждый из учащихся наобум написал какую-то цифру от «1» до «5». Определите вероятность того, что каждый из них угадал полученную впоследствии оценку.

2. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

а. оканчивается нулем;

б. состоит из одинаковых цифр;

в. больше 72 и меньше 87;

г. не является кубом целого числа.

3. Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков в сумме выпадет больше десяти очков.

4. На каждой грани правильного тетраэдра написана одна из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры не повторяются). Тетраэдр бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза он упадет на грань с одной и той же цифрой.

Тема 12. «Уравнения и неравенства»

1. Равносильны ли уравнения:

а. и ;

б. и ;

в. и .

2. Решите уравнения:

а. ;

б. ;

в. ;

г. ;

д. ;

е. ;

ж. ;

з. ;

и. .

3. Решите неравенства:

а. ;

б. ;

в. ;

г. ;

д. ;

е. ;

ж. ;

з. .

4. Решите системы уравнений:

а. (методом алгебраического сложения)

б. (графическим методом)

в. (методом подстановки)