Расход сырья продукции

Сырье	Расход сырья на 1 ед. продукции	Запас сырья, ед.
П1	П2
А
В

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П₁ никогда не превышает спроса на продукцию П₂ более чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию П₂ никогда не превышает 2 ед. в сутки.

Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д.е. – для П₁и 4 д.е. для П₂.

Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи начинается с ответов на следующие вопроса (Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х кн. – М.: Мир, 1985):

1. Для определения каких величин должна быть построена модель, т.е. как идентифицировать переменные данной задачи?

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?

3. В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Ответы на вышеперечисленные вопросы могут быть сформулированы для данной задачи так: фирме требуется определить объемы производства каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие доход в д.е. от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.

Для построения математической модели остается только идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных.

Предположим, что предприятие изготовит x₁ единиц продукции П₁ и х₂единиц продукции П₂. Поскольку производство продукции П₁ и П₂ ограничено имеющимся в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, должны выполняться следующие неравенства:

Доход от реализации х_i единиц продукции П₁и х₂единиц продукции П₂ составит .

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значение F_max.

Рассмотренная задача относится к разряду типовых задач оптимизации производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в них могут быть также использованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продукции и затраты станочного времени.

Пример 9. Использование мощностей оборудования.

Предприятие имеет т моделей машин различных мощностей. Задан план по времени и номенклатуре: Т – время работы каждой машины; продукции j-го вида должно быть выпущено не менее N_j единиц.

Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство, если известны производительность каждой i-й машины по выпуску j-го вида продукции b_ij и стоимость единицы времени, затрачиваемого i-й машиной на выпуск j-го вида продукции с_ij.

Другими словами, задача для предприятия состоит в следующем: требуется определить время работы i-й машины по выпуску j-го вида продукции х_ij,обеспечивающее минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машин Т и заданному количеству продукции N_j.

По условию задачи машины работают заданное время Т,поэтому данное ограничение можно представить в следующем виде:

. (2.36)

Ограничение по заданному количеству продукции выглядит следующим образом:

. (2.37)

Задача решается на минимум затрат на производство:

. (2.38)

Необходимо также учесть неотрицательность переменных .

Задача поставлена так, чтобы израсходовать все отведенное время работы машины, т.е. обеспечить полную загрузку. При этом количество выпускаемой продукции каждого вида должно быть, по крайней мере, не менее N_j. Однако в некоторых случаях не допускается превышение плана по номенклатуре, тогда ограничения математической модели изменяются следующим образом:

. (2.39)

. (2.40)

. (2.41)

Пример 10. Минимизация дисбаланса на линии сборки.

Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из m различных узлов. Эти узлы изготавливаются на n заводах.

Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску j-го узла неодинакова и равна . Каждый i-й завод располагает максимальным суммарным ресурсом времени в течение недели для производства m узлов, равного величине T_i.

Задача состоит в максимизации выпуска изделий, что по существу эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или по нескольким видам узлов.

Требуется определить еженедельные затраты времени (в часах) на производство j-го узла на i-м заводе, не превышающие в сумме временные ресурсы i-го завода и обеспечивающие максимальный выпуск изделий.

Пусть x_ij – недельный фонд времени (в часах), выделяемый на заводе i для производства узла j. Тогда объемы производства узла j будут следующими:

. (2.42)

Так как в конечной сборке каждый из комплектующих узлов представлен в одном экземпляре, количество конечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объем производства которых минимален:

(2.43)

Условие рассматриваемой задачи устанавливает ограничение на фонд времени, которым располагает завод i.

Таким образом, математическая модель может быть представлена в следующем виде.

Максимизируем

. (2.44)

. (2.45)

для всех i и j.

Эта модель не является линейной, но ее можно привести к линейной форме с помощью простого преобразования. Пусть Y – количество изделий:

. (2.46)

Этому выражению с математической точки зрения эквивалентна следующая формулировка: максимизировать Z = Y при ограничениях

. (2.47)

. (2.48)

для всех i и j; Y³0.

Пример 11. Задача составления кормовой смеси, или задача о диете (Вентцель Е.С, Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1983).

Пусть крупная фирма (условно назовем ее "Суперрацион") имеет возможность покупать т различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных компонентов (ингредиентов).

Лабораторией фирмы установлено, что продукция должна удовлетворять, по крайней мере, некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Перед руководством фирмы стоит задача определить количество каждого i-го сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и ее питательности.

Решение

Введем условные обозначения:

x_i – количество i-го сырья в смеси;

т – количество видов сырья;

п – количество ингредиентов в сырье;

а_ij – количество ингредиента j, содержащегося в единице i-го вида сырья;

b_ij – минимальное количество ингредиента j, содержащегося в единице смеси;

с_i - стоимость единицы сырья i;

q - минимальная общая масса смеси, используемая фирмой.

Задача может быть представлена в виде

(2.49)

при следующих ограничениях:

на общий расход смеси

; (2.50)

на питательность смеси

; (2.51)

на неотрицательность переменных

. (2.52)

Пример 12. Задача составления жидких смесей.

Еще один класс моделей, аналогичных рассмотренным выше, возникает при решении экономической проблемы, связанной с из готовлением смесей различных жидкостей с целью получения пользующихся спросом готовых продуктов.

Представим себе фирму, торгующую различного рода химическими продуктами, каждый из которых является смесью нескольких компонентов. Предположим, что эта фирма планирует изготовление смесей m видов. Обозначим подлежащее определению количество литров i-го химического компонента, используемого для получения j-го продукта, через х_ij. Будем предполагать, что

.

Первая группа ограничений относится к объемам потребляемых химических компонентов:

. (2.53)

где S_i – объем i-го химического компонента, которым располагает фирма в начале планируемого периода.

Вторая группа ограничений отражает требование, заключающееся в том, чтобы запланированный выпуск продукции хотя бы в минимальной степени удовлетворял имеющийся спрос на каждый из химических продуктов, т. е.

. (2.54)

где D_j – минимальный спрос на продукцию у в течение планируемого периода.

Третья группа ограничений связана с технологическими особенностями, которые необходимо принимать во внимание при приготовлении смеси, например, простое ограничение, определяемое некоторыми минимально допустимыми значениями отношения между объемами двух химических компонентов в процессе получения продукта j:

или

где r – некоторая заданная константа.

Обозначив через Р_ij доход с единицы продукции x_ij, запишем целевую функцию:

. (2.55)

Пример 13. Задача о раскрое или о минимизации обрезков.

Данная задача состоит в разработке таких технологических планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму.

Например, бумажная фирма выпускает продукцию в виде бумажных рулонов стандартной ширины L. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны других размеров, для этого производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров могут включать т видов шириной . Известна потребность в нестандартных рулонах каждого вида, она равна l_i. Возможны n различных вариантов построения технологической карты раскроя рулонов стандартной ширины L на рулоны длиной l_i.

Обозначим через a_ij количество рулонов i-го вида, получаемых при раскрое единицы стандартного рулона по j-му варианту. При каждом варианте раскроя на каждый стандартный рулон возможны потери, равные Р_j. К потерям следует относить также избыточные рулоны нестандартной длины l_i, получаемые при различных вариантах раскроя .

В качестве переменных следует идентифицировать количество стандартных рулонов, которые должны быть разрезаны при j-м варианте раскроя. Определим переменную следующим образом: x_j - количество стандартных рулонов, разрезаемых по варианту j, .

Целевая функция

минимум отходов при раскрое

. (2.56)

Ограничение на удовлетворение спроса потребителя

. (2.57)

Пример 14 Многосторонний коммерческий арбитраж (Таха X.Введение в исследование операций: В 2-х кн. – М.: Мир, 1985.).

В сфере деятельности, связанной с валютными и биржевыми операциями, а также коммерческими сделками контрактного характера, возможны различного рода трансакции, позволяющие извлекать прибыль на разнице в курсе валют. Такого рода трансакции называются коммерческим арбитражем.

Представим себе коммерсанта (условно назовем его N), имеющего возможность реализовать многосторонний коммерческий арбитраж. Предположим, что число валютных рынков, вовлеченных в трансакционную деятельность коммерсанта N, равняется шести, а максимальное число возможных трансакций равняется девяти. Подробные данные, характеризующие рассматриваемую задачу, приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4