Элементы теории вероятностей. Изучить по учебной литературе вопросы:

Изучить по учебной литературе вопросы:

1. Случайные события, их виды.

2. Вероятность случайного события, способы ее получения.

3. Комбинаторика. Применение элементов комбинаторики к вычислению вероятности.

4. Действия над случайными событиями, вычисление вероятностей результатов действий.

5. Случайные величины, их виды. Закон распределения случайной величины

6. Ряд и функция распределения дискретной случайной величины.

7. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

8. Дисперсия дискретной случайной величины.

Примеры решения задач

1) Имеется набор разноцветных шариков, среди которых 5 синих, 3 красных и 2 зеленых. Наугад извлекают 4 шарика. Найти вероятность того, что среди извлеченных шариков 2 синих, 1 красный и 1 зеленый.

Решение

Для определения вероятности случайного события будем использовать классическую формулу , в которой n – число всех возможных исходов, m- число исходов, благоприятных появлению события. В задаче значения этих величин следует находить при помощи сочетаний.

2) Из карточек разрезной азбуки составлено слово «панорама». Карточки перемешали и наудачу по одной извлекают 5 карточек, выкладывая их в порядке извлечения. Найти вероятность того, что окажется составленным слово «роман».

Решение

В этой задаче можно воспользоваться произведением зависимых случайных событий

А – получение слова «роман»; В₁ – извлечение первой карточки с буквой «р»;

В₂ – извлечение второй карточки с буквой «о»; и т.д. Тогда А=В₁ ^. В₂ ^. В₃ ^. В₄ ^. В₅

Р(А)=Р(В₁) ^. Р(В₂) ^. Р(В₃) ^. Р(В₄) ^. Р(В₅)=

3) В трех ящиках имеется по 6 одинаковых изделий, среди которых соответственно 2,

1, 3 бракованных. Наугад из каждого ящика извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что среди них окажутся два качественных и одно бракованное изделия.

Решение

Для решения задачи рассмотрим события: А – извлечение двух качественных и одного бракованного изделий, В₁ – извлечение качественного изделия из первого ящика;

В₂ – извлечение качественного изделия из второго ящика; В₃– извлечение качественного изделия из третьего ящика; извлечение бракованного изделия для каждого ящика является событиями Составим событие А и вычислим его вероятность

4) Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. Имеется заданный ряд распределения дискретной случайной величины

хi	-1
pi	0,5	0,3	0,2

Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой

Получим M(X)=(-1)^.0,5+2^.0,3+6^.0,2=1,3

Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству.

В примере получим: D(X)=(-1-1,3)^{2 .} 0,5+(2-1,3)^{2 .} 0,3+(6-1,3)^{2 .} 0,2=7,21

M(X²)=(-1)^{2 .} 0,5+2^{2 .} 0,3+6^{2 .} 0,2=8,9

D(X)= 8,9 – 1,3² =7,21 (значения должны совпадать)

Для построения многоугольника распределения нужно на координатной плоскости построить точки (x_i ;p_i) и последовательно их соединить отрезками.

Для построения функции распределения воспользуемся схемой:

В примере получим

Используя значения заданного примера получим графики:

Литература

1. Математика: учебник. А.А. Дадаян. – М. : ФОРУМ, 2008

2. «Общий курс высш. математики» под ред. Ермакова Е.И. М., ИНФРА-М,2004

3. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений; С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; - М.: Издательский центр «Академия», 2010

4. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов; – М. - ФОРУМ, 2008

5. Дискретная математика – учебное пособие. Макоха А.Н., Сахнюк П.А., Червяков Н.И.: учеб. Пособие – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005

6. Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям. – Н.Ш. Кремер и др. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007

7. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. Н.И. Сидняев – М.: Издательство Юрайт, 2011