I Элементы теории вероятностей

1. В группе из 20 человек – 12 девушек. Случайным образом выбрали 5 человек. Найти вероятность того, что среди них окажутся 4 девушки.

Решение.

Используем классическую формулу вычисления вероятности появления события А в некотором опыте: , где n – число всех равновозможных исходов опыта, а m – число благоприятных исходов этого опыта.

В нашем случае – число всех способов, которыми можно выбрать 5 элементов из 20 элементов. Чтобы сосчитать число всех благоприятных исходов, заметим, что при этом надо выбрать 4 девушки из имеющихся 12, а также 1 юношу из имеющихся 8 (так как всего выбирают 5 = 4 + 1 человек). Таким образом, . Итак,

.

2. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: А, И, К, П, Р. Карточки тщательно перемешивают и затем вынимают по одной, выкладывая их в одну линию слева направо. Найти вероятность того, что на первых четырех карточках получится слово ПАРК.

Решение

Число всех равновозможных исходов – это число способов, которыми можно извлечь четыре карточки из пяти, причем в данном случае порядок расположения элементов в группе существенен, поэтому здесь . Благоприятным является только один исход т = 1. Поэтому по формуле (1) .

3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула есть в первом справочнике, равна 0,6, во втором – 0,7, в третьем – 0,8. Найти вероятность того, что формула есть
а) только в одном справочнике, б) хотя бы в одном справочнике.

Решение

Пусть событие А_i означает, что формула есть в i-ом справочнике. По условию задачи Р(А₁) = 0,6; Р(А₂) = 0,7; Р(А₃) = 0,8.

а) Рассмотрим событие А – «формула есть только в одном справочнике». Тогда (черта над А_i обозначает событие, противоположное событию А_i). Учитывая, что слагаемые в этой сумме образуют несовместные события, и события А_i независимы, по теоремам сложения и умножения вероятностей получим

Р(А) = 0,6×0,3×0,2 + 0,4×0,7×0,2 + 0,4×0,3×0,8 = 0,188.

б) Пусть В – событие, состоящее в том, что формула есть хотя бы в одном справочнике. Тогда – «формулы нет ни в одном справочнике». Очевидно, . Используя формулы (7) и (3), имеем:

.

4. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,1. Сделано 5 выстрелов. Найти вероятность а) только одного промаха; б) не более одного промаха; в) хотя бы одного промаха.

Решение

Случайная величина Х – количество промахов при п выстрелах – подчиняется биномиальному закону. Поэтому вероятность ровно т промахов вычисляется по формуле Бернулли , где р – вероятность промаха при одном выстреле, q = 1 – р – вероятность попадания при одном выстреле.

В нашем случае п = 5; р = 0,1; q = 0,9.

а) Вероятность только одного промаха .

б) Не более одного промаха означает, что либо не было ни одного промаха (то есть т = 0), либо сделан только один промах (т = 1). Отсюда вероятность не более одного промаха при пяти выстрелах подсчитывается как

Р₅(0) + Р₅(1) = 0,9⁵ + 0,328 = 0,9185.

в) Чтобы вычислить вероятность хотя бы одного промаха, рассмотрим противоположное событие: «не было сделано ни одного промаха» (т = 0), тогда искомая вероятность равна 1 – Р₅(0) = 1 – 0,9⁵ = 0,4095.

5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 400 выстрелах мишень будет поражена а) ровно 310 раз; б) не менее 310 и не более 360 раз; в) не более 310 раз.

Решение

а) Так как здесь число испытаний п = 400 достаточно велико,

а npq = 400×0,8×0,2 = 64 > 20, то воспользуемся формулой (18):

; j(–1,25) = 0,1826 (см. Приложение 2),

тогда .

б) Воспользуемся формулой (19).

; .

Тогда .

(Значения функции F(х) см. Приложение 1).

в)

.

6. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием т_х = 8 и средним квадратичным отклонением s_х = 3. Найти а) Р(5 < Х < 9); б) Р(|X – 8| < 1,5).

Решение

а) Воспользуемся формулой для вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на заданный интервал (формула (15)): .

Так как функция Ф(х) нечетная, то Ф(–1) = –Ф(1). По таблице (см. Приложение 1), имеем Р(5 <Х < 9) = Ф(0,33) + Ф(1) = 0,1293 + 0,3413 = 0,4706.

б) Вероятность того, что для нормально распределенной случайной величины абсолютная величина отклонения ее от математического ожидания будет меньше некоторого числа d, вычисляется по формуле (17).

Таким образом, .