Общая схема построения статистических критериев (на критериях согласия в случае простой гипотезы)

H₀ (гипотеза) – {F_ξ(x)=F(x)}, где F(x) – некоторая функция (предпологаемая)

- Эмпирическая функция распределения, где ν(x) - число элементов выборки < x.

- мера разности м/у этими величинами(явл-ся статисти-кой критерия)

Тогда возьмем P, чтобы p(D<D₀) ⩾P, находим D₀ в соотв с критерием. P –надежность.

47 Основные сл величины (равномерное, нормальное, пуассоновское, экспоненц) и их характеристики (мат ож, дисперсия, фун-я распред, плотность)

Сл вел – отображение из мн-ва случайных событий на числовую прямую.

Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, меньшее х, т. е. F(x) = P(ξ < x)

Свойства:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:

2. Функция распределения - неубывающая функция

3. Ф р непрерывна справа

4 Предел на -∞ = 0 на +∞ = 1

Плотностью распределения вероятностей непрерывной слу величины называют первую производную от фун распр: f(х) = F'(х). Зная плотность распределения, можно найти функцию распреде­ления

Математическое ожидание непрерывной сл величины ξ, возможные значения которой принадлежат всей оси Ox, определ-я равенством ,где f(x) - плотность распределения случайной величины X.

Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные зна­чения кот принадлежат всей оси Ох, определяется равенством ,

или равносильным равен-ством D=M[ξ²]-M[ξ]²

48 Точечные и интер-вальные оц характ-к сл вел (оценки: мат ож, дисперсии, коэфф корреляции; несмеще-нность, эффективность и состоятельность оценок) и способы их получ-я (метод моментов и максимального правдоподобия)

Наблюдение над случайной величиной дает выборку х₁…х_n.

Точечные оценки

Пусть F_ξ(x,Q) - функция распределения с.в. зависит от параметра Q (к примеру один из моментов). Оценка параметра Q^*, построенная на основании выборки, записанная в виде числа называется точечной оценкой.

Свойства оценок:

*Несмещенность – M(Q_n^*)=Q

*Асимптотическая эффективность –

*Состоятельность - :

Выборочное средн: (оц мат ож)

Выборочная дисперсия:

Коэффициент корреляции:

Интервальные оценки:

Интервальное оценивание заключается в нахождении доверительного интервала для Q.

, где p – доверительная вероятность (надежность).

Построение доверительного интервала для мат ожидания при известной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

Пусть р – доверительная вероятность.

Найдем такое t_p, что

⇒

Для нахождения t_p решаем уравнение Лапласа p=2Ф(t_p)

Построение доверительного интервала для дисперсии в случае нормально распред генеральной совокупности.

A – выделенное множество формул, называемых аксиомами

R – конечное множество отношений между формулами, называемые правилами вывода.

Пример: R – логика предикатов 1-го порядка.

Допускается 4 типа выражений:

•Атомы – объекты, события

•Переменные

•Функции, задающие отношение между атомами и переменными

•Функции, в параметрах которых могут стоять атомы, переменные и другие функции.

Если D_n<D₀, то гипотеза не противор опытн данным, иначе D_n>D₀ – противоречит.

D₀ – граница значимости.

Критерий , в случае простой гипотезы

с.в ξ Н₀={ ξ ~ F_ξ(X) } – гипотеза. Функция распреде-ления определ-а однозначно.

х₁…х_n – вариационный ряд (упор по возр выборка).

Построим эмпирическую фун-ю распределения F_n^*(x)

Разделим множество значений ф.р. на r частей.

Обозначим ν_i - количество элемен выборки, попавших в интервал [y_i-1;y_i), i=1…r

Обозначим: р_i – вероятность попадания в интервал, ξ ∈ [y_i-1;y_i)

Тогда:

Пусть мера отклонения -

Теорема Пирсона: каким бы ни было распределение с.в. ξ, но при , статистика стремится к

Пусть P надежность , т. что k_r-1(x) – плотн распред

, где x_α² – квантиль распред

, где - плотность распре-деления

α - уровень значимости

тогда если:

, то наблюдения не противоречат гипотезе

, то гипотеза Н отклоняется