Общая схема построения модели

Схема устроена так, что предполагает не один итерационный цикл процесса моделирования: после i-го шага, приведшего к появлению j- ой версии модели, осуществляется очередная проверка на адекватность, после которой происходит как коррекция и модернизация модельной версии, так и возникают задания на дополнительные социологические исследования, что-то уточняющие как в модельной концепции, так и в самих этапах-процедурах моделирования. Так происходит до тех пор, пока модель не начнет выдавать полезные результаты.

Вы уже наверное заметили, насколько удобен и понятен язык схем. Абстрагирование и обобщенное его развитие получило в теории графов – математическом языке, как показал опыт, наиболее просто и быстро осваиваемом гуманитариями. Естественно начать осваивать языки моделирования именно с него.

2. Преимущество языка теоретико-графовых моделей

Как было сформулировано в разделе «Свойства моделей живых систем», одним из их специфических свойств является многомерность. К сожалению, и по настоящий момент работа математика с размерностью выше 3-х превращается в «проклятье размерностей». Однако имеется ветвь математики, в которой существует (правда, определенной ценой, но …«чудес не бывает») возможность преодолевать «проклятье размерностей». Этой ветвью является теория графов, а ключевой теоремой в этой проблеме является теорема о возможности представлении графа, построенного в любом n-мерном пространстве, в 3-х мерном пространстве.

Теорема: Любой конечный граф, построенный в многомерном пространстве с числом измерений более 3-х, может быть взаимнооднозначно отображен на граф в 3-х мерном пространстве.

Доказательство.

Пусть в пространстве N – измерений имеется многомерный конечный граф, т.е. с конечным числом n- вершин и конечным множеством m ребер. Выберем в 3-х мерном пространстве какую-то прямую, например, совпадающую с осью Z в трех мерной декартовой системе координат. Поскольку число вершин конечно, то сопоставим каждой из n вершин многомерного графа одну и только одну точку на выбранной прямой. Таким образом, их также окажется n штук.

Каждое ребро многомерного графа соединяет одну и только одну пару его вершин.

Будем поступать следующим образом, перебирая все возможные пары вершин многомерного графа: как только обнаруживается, что какая-то пара его вершин соединена ребром, то через соответствующую им пару точек на прямой, совпадающей с осью Z в 3-х пространстве, будет проводиться одна и только одна, не совпадающая с другими, плоскость. Поскольку в силу конечности графа число ребер его конечно, то и соответствующих им плоскостей также будет конечное множество.

Образно говоря, многомерному графу из n вершин и m ребер будет сопоставлена книга из m страниц и n буковок на «книжном корешке» в 3-х. мерном пространстве.

Теория графов имеет самое неожиданное применение, достаточно назвать выбор оптимальных маршрутов и потоков в сетях, моделирование жизне­деятельности организмов, исследование случайных процессов и многие другие задачи. Теория графов тесно связана с такими разделами математи­ки, как теория множеств, теория матриц, математическая логика и теория вероятностей. Во всех этих разделах графы применяют для представления различных математических объектов, и в то же время сама теория графов широко использует аппарат родственных разделов математики.

Ориентированные графы. Часто связи между объектами характе­ризуются вполне определенной ориентацией. Например, на некоторых улицах допускается только одностороннее автомобильное движение, от­ношения между людьми могут определяться подчиненностью или стар­шинством. Ориентированные связи характеризуют переход системы из одного состояния в другое, результаты встреч между командами в спор­тивных состязаниях, различные отношения между числами (неравенство, делимость). Для указания направления связи между вершинами графа соответствующее ребро отмечается стрелкой. Ориентированное таким образом ребро называют дугой, а граф с ориентированными ребрами — ориентированным графом.

Взвешенные графы. Дальнейшее обобщение отображения связей между объектами с помощью графов состоит в приписывании ребрам и дугам некоторых количественных значений, качественных признаков или характерных свойств, называемых весами. В простейшем случае это может быть порядковая нумерация ребер и дуг, указывающая на очередность при их рассмотрении (приоритет или иерархия). Вес ребра или дуги может оз­начать длину (пути сообщения), количество набранных очков (турниры), характер отношений между людьми (сын, брат, отец, подчиненный, учи­тель) и т.п. Вес можно приписывать не только ребрам и дугам, но и верши­нам. Например, вершины, соответствующие населенным пунктам на карте автомобильных дорог, могут характеризоваться количеством мест в кем­пингах, пропускной способностью станций техобслуживания. Вообще, вес вершины означает любую характеристику соответствующего ей объекта (цвет изображаемого вершиной предмета, возраст человека и т. п.).

Типы конечных графов. Если множество вершин графа конечно, то он называется конечным графом. Для ориентированного ребра (дуги) различают начальную вершину, из которой дуга исходит, и конечную вершину, в которую дуга заходит. Ребро, граничными вершинами которо­го является одна и та же вершина, называется петлей. Ребра с одинако­выми граничными вершинами являются параллельными и называются кратными. В общем случае граф может содержать и изолированные вер­шины, которые не являются концами ребер и не связаны ни между собой. ни с другими вершинами.

Маршруты. Нередко задачи на графах требуют выделения различ­ных маршрутов, обладающих определенными свойствами и характери­стиками. Маршрут длины т определяется как последовательность т ре­бер графа (не обязательно различных) таких, что граничные вершины двух соседних ребер совпадают. Замкнутый маршрут приводит в ту же вершину, из которой он начался. Маршрут, все ребра которого различны, называется цепью, а марш­рут, для которого различны все вершины, на­зывается простой цепью. Замкну­тая цепь называется циклом, а простая цепь — простым циклом. Маршрут, не содержащий повторяющихся дуг, называется путем, а не содержащий повторяющихся вершин, — про­стым путем. Замкнутый путь называется контуром, а простой замкну­тый путь — простым контуром. Граф называется циклическим (контур­ным), если он содержит хотя бы один цикл (контур).

Деревья и лес.Особый интерес пред­ставляют связные ацик­лические гра­фы, назы­ваемые деревьями. Дере­во на множестве р вер­шин всегда содержит q=p-l ребер, т.е. мини­мальное количество ре­бер, необходимое для того, чтобы граф был связным. Действительно, две вершины связываются одним ребром

Дерево

и для связи каждой последующей вершины с предыдущи­ми требуется ребро, следовательно, для связи р вершин необходимо и достаточно р-1 ребер. При добавлении в дерево ребра образуется цикл, априудалении хотя бы одного ребра дерево распадается на компоненты, каждая из которой представляет собой также дерево или изолированную вершину. (несвязный граф, компоненты которого являются деревьями, называется лесом.

Примерами древовидной структуры являются генеалогический граф (родословное дерево), а также совокупность всех файлов, размещенных на жестком диске компьютера или дискете. Каждый логический диск имеет каталог, называемый главным или корневым. Он имеет оглавле­ние, подобное оглавлению книги. В оглавлении корневого каталога пере­числено содержимое диска: имена файлов этого каталога и других ката­логов, вложенных в него.