Методические указания к контрольной работе

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ЭКОНОМЕТРИКА

Методические указания, задания и пример выполнения контрольной работы для студентов экономических специальностей заочной формы обучения

Составители В.М.Волков

Е.Н.Грибанов

И.А.Ермакова

Утверждены на заседании кафедры

Протокол № 9 от 10.05.2007

Рекомендованы к печати

учебно-методической комиссией

специальности 230401

Протокол № 9 от 10.05.2007

Электронный вариант находится

в библиотеке главного корпуса

ГУ КузГТУ

Кемерово 2007

ВВЕДЕНИЕ

В данном курсе «Эконометрика» рассматриваются основные разделы экономико-математических методов. Освоение данного курса позволяет давать обоснованный краткосрочный и долгосрочный прогноз технико-экономических, финансовых, демографических и других изменяющихся во времени параметров, а также изучать взаимосвязь различных экономических показателей. В составлении методических указаний принимали участие В.М.Волков, И.А.Ермакова, Е.Н.Грибанов, Е.А.Волкова, В.А.Гоголин, А.В.Дягилева.

После изучения курса на лекциях и практических занятиях студент должен выполнить контрольную работу в соответствии с данными методическими указаниями. Задания для выполнения контрольной работы определяет преподаватель (в частности студент самостоятельно выбирает исследуемые величины и данные их изменения во времени со ссылкой на источник информации). Необходимыми сведениями для освоения курса являются теория вероятностей и математическая статистика.

Проверенные контрольные работы защищаются студентами на занятии. В случае, когда работа не зачтена при проверке, она должна быть исправлена и снова сдана на проверку.

Задания контрольной работы

1. Построить временной ряд вашей величины и вычислить ее основные числовые характеристики.

2. Сгладить ряд методом скользящих средних.

3. Проверить гипотезы о случайности временного ряда.

4. Провести автокорреляционный анализ временного ряда.

5. Оценить модели краткосрочного прогноза.

6. Определить степень полиномиального тренда методом переменных разностей.

7. Построить регрессионную модель временного тренда.

8. Оценить адекватность трендовой модели.

9. Дать краткосрочный и долгосрочный прогнозы изменения рассматриваемой величины.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Введение

Под эконометрикой следует понимать набор статистических методов, используемых для количественного анализа и прогнозов экономических процессов по данным наблюдений за их развитием.

Эффективность работы предприятия, отрасли, экономики страны оценивается технико-экономическими показателями, такими как объем выпускаемой продукции, производительность, себестоимость, энергоемкость и т.п. Изменение этих показателей во времени (в течение суток, недели, месяца, года и т.д.), то есть их динамика, представляет так называемый временной ряд. В общем случае временной ряд составляют результаты наблюдений над некоторой величиной u_t через равные промежутки времени t = 1, 2, …, N, где N называется длиной временного ряда.

Изменение значений временного ряда обусловлено действием внутренних для изучаемой величины факторов и определяется двумя составляющими. Во-первых, закономерной, функциональной зависимостью u_t от времени, называемой временным трендом y_t. Во-вторых, совокупностью случайных факторов – случайной составляющей временного ряда e_t. Например, увеличение объема капитальных затрат и числа работающих обычно приводит к увеличению со временем объема выпускаемой продукции и может привести также к снижению производительности труда и росту себестоимости продукции. Это внутренние факторы, закономерно влияющие на изменение рассматриваемых показателей во времени и обусловливающие временной тренд. В то же время нерегулярность поставок сырья и материалов на предприятие, плохая организация сбыта продукции и т.п. могут быть рассмотрены как случайные факторы.

Не вскрывая на первом этапе математического моделирования влияющие на изучаемую величину факторы, мы будем рассматривать временные ряды, которые можно представить в виде суммы временного тренда и случайной составляющей, то есть

u_t = y_t+e_t. (1)

Основные задачи эконометрического анализа сводятся к следующему: установить наличие или отсутствие корреляционной связи между членами ряда и временного тренда; провести сглаживание временного ряда методом скользящих средних и устранить случайную составляющую; найти степень полинома, описывающего временной тренд методом переменных разностей; выделить полиномиальный временной тренд методом наименьших квадратов; и в конечном итоге дать краткосрочный и долгосрочный прогноз изменения изучаемой величины в будущем.

1. Начальная обработка временного ряда

На первом этапе таблице значений временного ряда дается графическая интерпретация, т.е. в плоскости (t-u_t) наносятся точки, соответствующие значениям ряда, которые соединяются отрезками. Таким образом, имеем график временного ряда.

Далее необходимо вычислить основные числовые характеристики ряда. Среднее значение для величин u_t, вычисляется как среднее арифметическое этих значений:

. (2)

Дисперсия величины u_tкак квадратичная мера рассеивания значений ряда относительно среднего значения определяется по формуле

. (3)

Среднее квадратическое отклонение как линейная мера рассеивания:

. (4)

2. Сглаживание временных рядов методом скользящих средних

Сглаживание временного ряда выполняется для устранения случайной составляющей, выделения тренда по выбранному числу членов ряда m и визуализации тенденций изменения ряда во времени. Для выделения тренда используется метод наименьших квадратов, с помощью которого по нечетному числу членов ряда m строятся полиномы выбранной степени p, начиная с первого и т.д. членов ряда. Степень полинома и число точек сглаживания выбираются из общих соображений, включая существо решаемой задачи, и подбора степени по пробным кратковременным прогнозам.

Новое сглаженное значение временного ряда в средней точке из m заданных находится как линейная комбинация старых m значений ряда с коэффициентами, зависящими от выбранной степени полинома.

Если сглаживание временного ряда осуществляется по точкам, то для (линейное сглаживание) новое значение временного ряда вычисляется как среднеарифметическое пяти заданных значений ряда. Таким образом, новое, третье значение вычисляется по пяти первым заданным, четвертое значение по пяти заданным, начиная со второго и т.д., то есть

, (5)

где – заданное и новое сглаженное значения временного ряда(t = 3, …, N – 3).

Для p = 2, то есть при квадратичном сглаживании, формула принимает вид

. (6)

Для вычисления сглаженных первых и последних (m – 1)/2 значений ряда (при m = 5 вычисляют два первых и два последних члена сглаженного ряда) используют нижеприведенные формулы.

При p = 1:

(7)

При p = 2:

(8)

После вычисления сглаженных значений ряда строится его изображение на графике временного ряда путем гладкого соединения новых точек. Затем делается вывод о наличии или отсутствии монотонности временного ряда.

3. Проверка гипотезы о случайности временного ряда (о наличии тренда)

Если наблюдается монотонность сглаженного ряда, то вопрос о наличии временного тренда решают следующим образом. Ряд разбивают на две половины и рассчитывают – средние значения первой и второй половины ряда, имеющие объемы n _п , n _в ; – дисперсии первой и второй половины ряда, найденные по формулам (2),( 3).

Далее проверяют гипотезу о равенстве дисперсий первой и второй половины ряда по критерию Фишера. Рассчитывают статистику:

(9)

Значение F сравнивают с критическим значением F_кр из табл.1 с , степенями свободы. Если , то дисперсии различны на уровне значимости 5%. В противном случае дисперсии считаются равными.

Таблица 1

Степени cвободы	Критические значения распределения Фишера
k 2 \ k1
	5,0	4,7	4,6	4,6	4,5	4,5
	3,3	3,0	2,8	2,8	2,7	2,7
	2,9	2,5	2,4	2,3	2,3	2,2
	2,7	2,3	2,2	2,1	2,1	2,0
	2,6	2,2	2,1	2,0	2,0	1,9
	2,5	2,2	2,0	1,9	1,9	1,8

В случае равенства дисперсий проверяется гипотеза о случайности временного ряда, основанная на сравнении средних значений первой и второй половины ряда, по статистике (величине):

(10)

Значение ½t½сравнивается с критическим значением распределения Стьюдента с k = n _п + n _в – 2 степенями свободы и уровнем значимости a. При a = 0,05 критические значения распределения Стьюдента приведены в табл. 2.

Таблица 2

k									¥
tкр	3,18	2,57	2,45	2,23	2,16	2,12	2,09	2,04	1,96

В случае, если ½t½< t_кр , принимается гипотеза о равенстве средних первой и второй половины ряда, то есть гипотеза о случайности временного ряда. В противном случае выдвинутая гипотеза отвергается, так как различие между средними первой и второй половины ряда значимо, делается вывод о неслучайном поведении ряда и наличии временного тренда.

Если дисперсии не равны, или не наблюдается монотонность сглаженного временного ряда, то проверку гипотезы о случайности ряда выполняют методом поворотных точек. Поворотная точка – точка экстремума, то есть точка, в которой значение величины больше (меньше), чем значения в соседних точках. По графику ряда находим число поворотных точек d. Для случайного ряда среднее число точек поворота и их дисперсия равны:

. (11)

Вычисляем статистику . Если z < 1,96, то гипотеза о случайности временного ряда принимается, в противном случае – отвергается на уровне значимости 5%, и, следовательно, тренд существует.

4. Автокорреляционный анализ временных рядов

Задачей автокорреляционного анализа временного ряда является установление степени и временного интервала зависимости последующих членов ряда от предыдущих. Наличие корреляционной связи между последующими и предыдущими членами ряда также служит информативным признаком временного тренда.

Для этого последовательно рассчитывают коэффициенты автокорреляции r_k между первыми и последними (N – k) членами ряда u_t и u_t+k (k = 1, 2,…):

, (12)

где – средние значения, а s₁ и s₂ – средние квадратические отклонения рядов u_t и u_t+k.

Средние значения величин вычисляются как средние арифметические этих значений по формуле (2), например:

.

Среднеквадратическое отклонение , где – дисперсия величины и_t согласно (3), например, равна:

.

После вычисления коэффициентов автокорреляции по формуле (12) проверяется значимость коэффициентов автокорреляции сравнением этих значений с критическими значениями коэффициента корреляции r_кр. Если ½r_к ½< r_кр, то корреляция на временном интервале в k единиц отсутствует. При 5% уровне значимости критические значения коэффициента корреляции приведены в табл. 3.

Таблица 3

N–k–2
rкр	0,88	0,75	0,67	0,60	0,55	0,51	0,48	0,42	0,35	0,30

Полученные результаты оформляют в виде графической зависимости r_к от k, которая носит название коррелограммы. Если для первых k значений выполняется условие ½r_к½> r_кр, то имеется значимая зависимость между первыми (N–k) и последними (N–k) членами ряда. Таким образом, временная длина зависимости составляет k временных единиц, что говорит о возможности долгосрочного прогноза на k временных шагов вперед.

5. Модели краткосрочного прогноза

Для краткосрочного прогноза на один временной шаг используют 1, 2, 3, 4 или 5 последних значений временного ряда. Прогнозное значение определяют по следующим формулам:

1) прогноз по одному последнему значению

u_n+1⁽¹⁾ = u_n ; (13)

2) прогноз по двум последним значениям

u_n+1⁽²⁾ = 2u_n–u_n-1; (14)

3) прогноз по трем последним значениям

u_n+1⁽³⁾ = (4u_n+ u_n-1 –2u_n-2)/3; (15)

4) прогноз по четырем последним значениям

u_n+1⁽⁴⁾ = (2u_n+ u_n-1 –u_n-3)/2; (16)

5) прогноз по пяти последним значениям

u_n+1⁽⁵⁾ = (8u_n+ 5 u_n-1 + 2u_n-2–u_n-3 – 4u_n-4)/10. (17)

6. Оценка точности и достоверности краткосрочного прогноза

Оценку точности краткосрочного прогноза проводят на основе сравнения прогнозируемых значений ряда с известными значениями .

Для этого вычисляют абсолютную погрешность прогнозного значения по выражению

. (18)

Для первой модели погрешности вычисляют для значений ряда, начиная со второго по формуле (13). Для второй модели для вычисления погрешностей используют прогнозные значения (рассчитанные по формуле (14)) и данные значения, начиная с третьего, и т.д.

Затем, исходя из существа решаемой задачи, задают предельное значение погрешности D_кр, с которым сравнивают рассчитанные абсолютные погрешности. Если D_к< D_кр, то прогноз считается точным, в противном случае – неточным. Для каждой модели производят подсчет числа точных прогнозов К⁺. Далее оценивают достоверность каждой модели прогноза, для чего рассчитывают процентное отношение точных прогнозов К⁺ к общему числу прогнозов К= N–k, где k–номер модели. То есть достоверность определяют как

d =(К⁺/ К) × 100%. (19)

Модель, имеющая наибольший процент достоверных прогнозов, выбирается для краткосрочного прогнозирования.

7. Определение степени полиномиального тренда

методом переменных разностей

Для выделения полиномиального тренда степени p предварительно находят значение этой степени по следующей процедуре, которая аналогична дифференцированию полинома. Так очевидно, что вторая производная полинома первой степени, третья производная полинома второй степени и т.д. равны нулю.

Для временного ряда операция дифференцирования заменяется вычислением переменных разностей, а условие равенства производной нулю – проверкой гипотезы о равенстве дисперсий предыдущих и последующих разностей.

Таким образом, сначала вычисляют первые разности:

, (20)

где t = 1, …, N – 1.

Затем по первым разностям вычисляют вторые разности:

, (21)

где t = 1, …, N – 2.

И далее последовательно – разности 3-го, …, n – го порядков:

, (22)

где t = 1, …, N – n.

Под разностями нулевого порядка понимается сам временной ряд.

На каждом шаге, начиная с n = 0, вычисляют дисперсии разностей n – го порядка по формуле

. (23)

На каждом шаге для каждых двух (предыдущей и последующей) дисперсий проверяют гипотезу о равенстве дисперсий по критерию Фишера в соответствии с (9).

Если F_n < F_кр, то можно принять, что дисперсии отличаются незначимо. В противном случае процедура вычисления разностей и их дисперсий продолжается. Здесь

, (24)

F_кр = F(a, k₁ , k₂),

где a – принятый уровень значимости; k₁ = N– n, k₂ = N – n – 1 – степени свободы.

Для 5% уровня значимости критические значения распределения Фишера F_кр приведены в табл. 1.

Последовательность дисперсий (23) убывает с ростом n , и при некотором значении p = n – 1 выполняется неравенство . Полученное значение p и является степенью полиномиального тренда. Дисперсия называется дисперсией случайности, а разности порядка p являются случайной компонентой временного ряда.

8. Выделение полиномиального тренда

После определения степени полиномиального тренда методом наименьших квадратов находят уравнение тренда (оценка его коэффициентов).

Для p = 1 – линейного тренда

, (25)

оценки коэффициентов а и b находятся из системы линейных уравнений:

(26)

Для p = 2 – параболического тренда

, (27)

оценки коэффициентов а , b и с – соответственно из системы:

(28)

Коэффициенты систем линейных уравнений (26,28) можно вычислить по следующим формулам:

9. Проверка адекватности трендовой модели

Для получения надежного, долговременного прогноза необходимо проверить трендовую модель на адекватность. То есть выяснить, не являются ли ошибки выбранной аппроксимации также трендовой моделью. А это означает, что случайная составляющая в выбранной модели не была исключена. Поэтому рассматривают ряд остатков – разность значений ряда и значений тренда

e_t = u_t – y_{t .} (29)

Таким образом, проверяют следующие гипотезы:

а) о случайности ряда остатков методом поворотных точек в соответствии с формулой (11). Если гипотеза о случайности ряда остатков отвергается, то трендовую модель следует считать неадекватной;

б) о равенстве математического ожидания ряда остатков нулю по статистике

, (30)

где - среднее значение ряда остатков, s – среднее квадратическое ряда остатков.

На 5% уровне значимости вычисленное значение t сравнивается с критическим значением, взятым из табл.2, с n–1 степенями свободы. Если гипотеза отвергается, то модель считается неадекватной на 5% уровне значимости.

Трендовая модель считается адекватной, если подтверждены гипотезы а), б).

10. Краткосрочный и долгосрочный прогнозы

значений временного ряда

Кратковременный прогноз значений временного ряда на один шаг для t = N+1 находится с помощью метода скользящих средних по m последним значениям ряда на основе выбора наиболее достоверной модели из п. 5, 6.

Долговременное прогнозирование значений временного ряда на k шагов вперед осуществляется по уравнениям найденного тренда

а) линейного:

, (31)

б) параболического:

(32)