Тема 6. Прогнозирование, основанное на использовании моделей временных рядов

Характерной чертой адаптивных методов прогнозирования является их способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, «адапти­роваться» к этой эволюции, придавая тем больший вес, тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они к текущему моменту прогнозирования.

В основе процедуры адаптации лежит метод проб и ошибок. По модели делается про­гноз на один интервал по времени. Через один шаг моделирования анализируется результат: насколько он далек от фактического значения. Затем в соответствии с моделью происходит корректировка. После этого процесс повторяется. Таким образом, адаптация осуществляется рекуррентно с получением каждой новой фактической точки ряда.

Методы экспоненциального сглаживания. Модель Брауна.

Пусть анализируемый временной ряд x(t) представлен в виде:

x(t) = а_о + ε(t),

где а_о – неизвестный параметр, не зависящий от времени, ε(t) – случайный остаток со средним значением, равным нулю, и конечной дисперсией.

Экспоненциально взвешенная скользящая средняя ряда определяется формулой:

Для рядов с «бесконечным прошлым» формула запишется следующим образом:

Коэффициент сглаживания λ, можно интерпретировать как коэффициент дискон­тирования, характеризующий меру обесценивания информации за единицу времени. Из формулы видно, что веса λ_j уменьшаются экспоненциально по мере удаления в прошлое (с ростом j) – отсюда и название метода.

В соответствии с методом Брауна прогноз x*(t+ 1) для неизвестного значения x (t + 1) по известной до момента времени t траектории ряда x (t) строится по формуле:

где значение определяется по рекуррентной формуле:

В качестве берется, как правило, среднее значение ряда динамики или сред­нее значение нескольких начальных уровней ряда.

Случай линейного тренда:

В этом случае прогноз будущего значения определяется соотношением:

а пересчет коэффициентов и осуществляется по формулам:

Начальные значения коэффициентов берутся из оценки тренда линейной функцией.

Модель Хольта.

В модели Хольта введено два параметра сглаживания λ₁ и λ₂ (0 < λ₁, λ₂ < 1). Прогноз на l шагов по времени определяется формулой:

а пересчет коэффициентов и осуществляется по формулам:

Модель Хольта-Уинтерса.

Эта модель помимо линейного тренда учитывает и сезонную составляющую. Прогноз на l шагов по времени определяется формулой:

где – коэффициент сезонности, а Т – число временных тактов, содержащихся в полном сезонном цикле.

Видно, что в данной модели сезонность представлена мультипликативно. Формулы обновления коэффициентов имеют вид:

Модель Тейла-Вейджа.

Если исследуемый временной ряд имеет экспоненциальную тенденцию с мультипликативной сезонностью, то после логарифмирования обеих частей уравнения получается модель с линейной тенденцией и аддитивной сезонностью или модель Тейла-Вейджа.

Имеется модель:

Здесь – уровень процесса после устранения сезонных колебаний, – аддитивный коэффициент роста, – аддитивный коэффициент сезонности и – белый шум.

Прогноз на l шагов по времени определяется формулой:

.

Коэффициенты вычисляются рекуррентным способом по формулам:

Для определения оптимальных значений параметров адаптации перебирают различные наборы их значений и сравнивают получившиеся при этом среднеквадратические ошибки прогнозов.