Дифференциальные уравнения. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связываю­щее между собой

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связываю­щее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается в следующем виде:

F(x, у, у') = 0,

F(x, У, У") = 0,

F(x,y,y',y",...,yⁿ) = 0.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциальнойго уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называете решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения на­зывается интегральной кривой. Общему решению дифференциаль­ного уравнения соответствует совокупность (семейство) всех ин­тегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные

,

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

Уравнение вида

где f(x) и φ(х) — функции от х, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частном случае f(x) и φ(х) могут быть постоянными величинами. Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки у = uz, где u и z — новые функции от х.

Задание № 1

В задачах 1-10 ответить письменно на теоретические вопросы.

1. Определение предела функции. Правила раскрытия неопределенностей типа .

2. Определение производной функции. Геометрический смысл производной функции.

3. Определение производной функции. Физический смысл производной функции.

4. Определение дифференциала функции. Определение дифференцирования. Правила дифференцирования.

5. Определение дифференцирования. Формулы дифференцирования.

6. Определение первообразной функции. Теорема о существовании бесконечного множества первообразных. Геометрическое изображение первообразных.

7. Определение неопределенного интеграла. Свойства интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

8. Определение криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница.

9. Определение определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

10. Понятие о дифференциальных уравнениях. Определение дифференциального уравнения, порядок дифференциального уравнения, решение, общее решение, частное решение, интегральная кривая. Дифференциальное уравнение первого порядка.

Задание № 2

В задачах 21-30вычислить пределы функции:

21. a) (2x²-3x+4);

б) ;

в) ;

22. a) (3x³+x²+8x+10);

б) ;

в) ;

23. a) (x³-x²+1);

б) ;

в) ;

24. a) (2x²-8x+4);

б) ;

в) ;

25. a) (2x²-4x+5);

б) ;

в) ;

26. a) (-3x²+4x-8);

б) ;

в) ;

27. a) (4x⁴-5x²+4);

б) ;

в) ;

28. a) (4x³-2x-1);

б) ;

в) ;

29. a) (2x²+4x);

б) ;

в) ;

30. a) (x³-x²+1);

б) ;

в) .