ДСВ, их законы распределения

Если Ω_х состоит из счетного числа отдельных элементов, то Ω_х называют дискретным множеством, а СВ – дискретной. Случайная величина наз-сядискретной (прерывной), если множ-во ее значений конечное, или бесконечное, но счетное. Множество называется счетным, если его эл-ты можно перенумеровать натуральными числами.Закон распределения ДСВ удобно задавать с помощью таблицы: под каждым значением СВ пишется вероятность того, что Х приняла это значение. Закон может быть записан в виде ряда распределения или в виде многоугольника. Для дискретной случ. величины з-н распред-я может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде ф-лы) и графически. Для любой дискретной случ. величины: ∑Р(Х=хi)=∑pi=1.Ряд распределения – таблица, состоящая из строки, включающая все значения, во второй строке – вероятность. Многоугольник: если пересекает ось Х, то это не многоугольник распределения. Функция распределения – вероятность того, что СВ Х принимает значение наперед заданное. F(x)=p(X<x). Ее свойства: не убывающая, F(-∞)=0, F(∞)=1, p(x₁≤X≤x₂)=F(x₂)-F(x₁).

Выделяют биномиальный закон, геометрический, закон Пауссона.

Числовые характеристики ДСВ

-Х(среднее значение) = m₁x₁ +….+m_kx_k= x₁*m₁/n + x₂*m₂/n +….+ x_k*m_k/n = ∑x₁*m₁/n;

-limm_i/n = P_i

- Мат. ожидание (среднее значением) М(Х) дискретной случ. величины X наз-ся сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вер-сти: M(X)=∑xipi.

-дисперсия – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожиданияD(X)=M[X-M(X)]^2. Min отклонение Х от постоянной С, тогда, когда M(X)=C. Тогда D(X)=min. Д(х)=∑(x_i - M(x))² * p_i

- среднее квадратическое отклонение – на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака отего СВ. σ(х)= √Д(х)

- вероятность попадания СВ в интервалP(a≤x≤b)= F(a)-F(b)

НСВ. Их законы распределения.

СВ Х будем называть непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду кроме отдельных точек. Пример: Закон распределения НСВ записывается через функцию распределения или плотность вероятности.Теорема: вероятность любого отдельного значения непрерывной СВ равна нулю. Для НСВ справедливо соотношение: p(x₁<X<x₂)=p(x₁≤X≤x₂). Плотность вероятности НСВ Х – функция, определяемая как F^’(x) или предел: lim (F(x+∆x) –F(x))/∆x , следовательно, F(x)= ∫f(t)dt. Дифференцируемый закон распределения наз. F(x).Вер-сть попадания Х в интервал (x1,х2) не зависит от того, открытый или закрытый интервал. Плотность вер-сти φ(x) непрерывной случ. величины X - производная ее ф-ираспредел-я. φ(x)=F’(х). Существует только для непрерывных случ. величин. График плотности вер-сти φ (x) наз-ся кривой распред-я. Свойства плотности: 1) φ(x)>0. 2) Вер-сть попадания Х в интервал [a,b]:

Свойства мат.ожидания

1) М(С)=С, С=const; Если случайная величина x принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть x є С, то её математическое ожидание равно С.

2)M(kX)=kM(X), k=const; (мат. ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число).Док-во: М(kX)=∑(kxi)pi=k∑xipi=kM(X).

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y). Док-во: в соответствии с определением суммы и разности pij(X+Y)=∑∑(xi±yj)pij=∑∑xipij±∑∑yjpij. Т.к. в 1й двойной сумме хi не зависит от индекса j, во 2й двойной сумме yj не зависит от индекса i, то: =M(X)±M(Y).

4)M(XY)=M(X)M(Y) док-во аналогично, как и для суммы. 5)М(Х±С)=М(Х)+С док-во: учитывая св-ва 1и3.

6)Мат. ожидание отклонения случ. величины от ее мат. ожидания: M[X-M(X)]=0.

Свойства дисперсии

1)D(C)=0, док-во: подставить С в опред. D.

2)D(kX)=k^2D(X), док-во: аналогич.

3)D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2, док-во: раскрыть скобки в опред-и D. 4)D(X+Y)=D(X-Y)=D(X)+D(Y).