Теоремы сложения и умножения вероятностей

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных, образующих полную группу элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначим через Р(А), тогда по определению

Р(А) = m/n ,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, в котором может появиться событие А.

Это определение вероятности называется классическим. Оно появилось на начальном этапе развития теории вероятности.

Из определения вероятности события следуют ее простейшие свойства:

1, Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, для достоверного события все элементарные исходы являются благоприятствующими этому событию, т.е. m = n. обозначим достоверное событие буквой Е, тогда

Р(Е) = n/n= 1.

2, Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, для невозможного события нет ни одного элементарного исхода, благоприятствующего этому событию, т.е. m = 0. Обозначим невозможное событие буквой О, тогда Р(О) = 0/n = 0.

3, Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы.Так для случайного события 0<m<n, то 0 <m/n< 1, 0<P(A) <1.

С л е д с т в и е. вероятность любого события удовлетворяет неравенства 0<=P (A) <= 1.

Классическое определение вероятности предполагает, что число всех элементарных исходов конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.

Геометрические вероятности и статистическая вероятность.

Понятие геометрической вероятности необходимо, например, при определении вероятности попадания в областьg точки, брошенной в область G, которая содержитg. Когда говорят « в некоторой области брошена точка», имеют в виду, что брошено тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с размерами данных областей (например, поперечным сечением пули по сравнению с площадью мишени, поперечным сечением по сравнению с площадью участка, на котором находятся поражаемые цели).

Общая задача, приведшая к необходимости расширения понятия вероятности, в плоском случае получают следующую формулировку. На плоскости задана квадрируемая область, т.е. область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой G, а ее площадьS_G. В области G содержится областьg площадиS_g. В области G наудачу бросается точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть областиG с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Требуется определить вероятность попадания данной точки в областьg. Пусть А – попадание брошенной точки в область g, тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой P(A) = S_g/S_G.

Также существует понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную областьG, содержащую областьg.

Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mesg, а меру областиG- через mesG, тогда вероятность попадания в областьg точки, брошенной в областьG, по определению выражается формулой:P(A) = mesg/mesG, где А (рассматриваемое событие) – попадание точки в областьg, которая содержится в областиG. Это определение вероятности называется геометрическим.

Статистическая вероятность – пусть при проведении nиспытаний некоторое событие А появилось mраз. Многочисленные эксперименты такого рода показывают, что при больших nотношение m/n, называемое частью события А, остается примерно постоянным. Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина, вокруг которой колеблются значения частостей при неограниченном возрастании числа n.

В случае статистического определения вероятность обладает следующими свойствами: 1) вероятность достоверного события равна единице; 2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Теоремы сложения и умножения вероятностей..

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … Р(А_n).

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Р(А) + Р(А)= 1.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий

Р(А₁ + А₂ + А₃ +…+ А_n ) = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) +…+ Р(А_n) – Р(A₁A₂) -Р(А₁А₃) - …-P(A_n-1A_n) + (А₁А₂А₃) +…+ Р(А_n-2А_n-1А_n) - …+ (-1)^n-1Р (А₁А₂…А_n).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).

В частности для независимых событий Р(АВ)=Р(А)Р(В), т.е. вероятность наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленную в предположении, что все предыдущие события уже наступили

Р(А₁А₂А₃…А_n)=P(A₁)P_A1(A₂)P_A1*A2(A₃)…P_A1A2…_An-1(A_n).

В частности, вероятность совместного наступления нескольких событий независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

P(A₁A₂A₃…A_n)= P(A₁)P(A₂)…P(A_n).

Основные понятия дисперсионного анализа.

В процессе наблюдения за исследуемым объектом качественные факторы произвольно или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фактора называется уровнем фактораили способом обработки. Модель дисперсионного анализа с фиксированными уровнями факторов называется моделью I, модель со случайными факторами – моделью II. Благодаря варьированию фактора можно исследовать его влияние на величину отклика.

В зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного признака, дисперсионный анализ подразделяется на однофакторный и многофакторный.

Основными схемами организации исходных данных с двумя и более факторами являются:

--перекрёстная классификация, характерная для моделей I, в которых каждый уровень фактора сочетается при планировании эксперимента с каждой градацией другого фактора;

--иерархическая классификация, характерна для модели II, в которой каждому случайному, наудачу выбранному значению одного фактора соответствует свое подмножество значений второго фактора;

**Модель дисперсионного анализа с фиксированными эффектами – устанавливает строго определённые уровни изучаемого фактора.

**Модель со случайными эффектами – уровни значения фактора выбираются исследователями случайно из широкого значения диапазона фактора.

Для дисперсионного анализа однофакторных экспериментов различие этих двух моделей не столь существенно, однако в многофакторном дисперсионном анализе оно может оказаться весьма важным.

При выполнении дисперсионного анализа должны выполняться следующие статистические допущения: независимо от уровня фактора величины отклика имеют нормальный закон распределения и одинаковую дисперсию.

В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия σ². Она является мерой вариации частных средних по группам χ_јсред.вокруг общей средней и определяется по формуле:

²= ,

где-k.число-групп;

n_j-число единиц в j-ой группе;

х_j сред.- частная средняя по j-ой группе;

х сред. – общая средняя по совокупности единиц.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия σ²_j.

σ²_j =

Между общей дисперсией σ²₀, внутригрупповой дисперсией σ² и межгрупповой дисперсией σ² сред.существует соотношение: σ²₀ = ² + σ².

Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние неучтённых при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе.

Условная вероятность.

В ряде случаев приходится рассматривать вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое другое событие, имеющее вероятность, отличную от нуля. Такие вероятности называются условными вероятностями.

Вероятность события В при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается так: Р (В/А), или Р_А(В).

Например, пусть А – событие, состоящее в извлечении белого шара из урны, содержащей n шаров, в том числе mбелых, n – mчерных; В – событие, состоящее в извлечении белого шара из той же урны после того, как из нее уже извлечен один шар. Очевидно, если первый извлечённый шар был белым, т.е. если произошло событие А, то в урне после первого извлечения останется m – 1 белых иn-mчерных шаров, поэтому вероятность события В будет равнаm-1/n-1. Если же первый извлеченный шар был черным (произошло событие А), то в урне останется mбелых и n-m-1 черных шаров; искомая вероятность окажется равной m/n-1. Следовательно, вероятность события В меняется в зависимости от того, происходит или не происходит событие А, т.е. вероятность события В может принимать два различных значения m-1/n-1, m/n-1.

Таким образом, Р(В/А)=m-1 /n-1, P(B/A)= m/n-1.

В случае классического определения условные вероятности вычисляются аналогично тому, как вычисляются безусловные вероятности. Пусть среди полной группы элементарных исходов А₁, А₂, …, А_n событию А благоприятствуют m исходов, событию В – kисходов, событию АВ –lисходов (l<=m, l<=k). если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из событий A_i, благоприятствующих В, при этомl и только l событийA_i, благоприятствующих АВ, поэтому

Р(А/В) = l/k = l/n / k/n = P(AB)/P(B),

P(B/A) = l/m = l/n / m/n = P(AB) / P(A).

Итак, получены следующие формулы:

Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В), Р(В/А)= Р(АВ)/Р(А).

При аксиоматическом введении понятия вероятности условные вероятности определяются соответственно формулами:Р(В/А)=Р(АВ)/Р(А), Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В).