Приложение дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики

Задача 1. Определить вероятность надежного электроснабжения потребителя при последовательном (рисунок 1.1) и параллельном (рисунок 1.2) соединении элементов сети. Вероятность безотказной работы первого элемента p₁=0,85, второго p₂=0,9, третьего p₃=0,95.

Решение: Вероятность надежной работы схемы (рисунок 1.1) определяется по теореме умножения вероятностей. Потребитель будет надежно получать питание, когда работает и элемент 1, и элемент 2, и элемент 3. События «надежная работа» и «отказ» являются противоположными и образуют полную группу событий.

Вероятность надежной работы схемы (рисунок 1.1)

P = p₁p₂p₃ = 0,85 x 0,9 x 0,95 = 0,725.

Вероятность отказа схемы (рисунок 1)

Q = 1- P = 1- 0,725 = 0,275.

Вероятность отказа схемы (рисунок 1.2) определяется также по теореме умножения вероятностей. Схема (рисунок 1.2) откажет тогда, когда откажет и элемент 1, и элемент 2, и элемент 3. Вероятность отказа первого элемента
q₁ = 1 - p₁, второго q₂ = 1 - p₂, третьего q₃ = 1 - p₃.

Рисунок 1.1- Вероятность отказа Рисунок 1.2- Вероятность отказа

Q = q₁q₂q₃ = (1-p)(1-p₂)(1-p₃) = (1-0,85)(1-0,9)(1-0,95) = 0,00075.

Вероятность надёжной работы схемы (рисунок 2)

P = 1-Q = 1-0,00075.

Задача 2. К распределительному устройству подключено три потребителя с номинальной мощностью 20, 15 и 5 кВт. Вероятность включенного состояния потребителей равна Р₁ = 0,6, Р₂ = 0,7; Р₃ = 0,5. Определить вероятность того, что нагрузка на распределительном устройстве составит 40 кВт.

Решение. Так как включение потребителей есть независимые события, для решения используем формулу (1.8). Тогда: Р(40 кВт) = Р₁Р₂Р₃ = 0,6×0,7×0,5 = 0,21.

Задача 3.Партия транзисторов, среди которых 10% дефекта, поступает на проверку. Схема проверки такова: вероятность обнаружения ошибки 0,95, если она есть; 0,03 – если ее нет. Найти вероятность того, что исправленный транзистор будет признан дефектным.

Эксперимент: наудачу выбирается транзистор.

Решение: А = { транзистор будет признан дефектным}

Гипотеза: Н₁ = {транзистор на самом деле дефектный} Р(Н₁)=0,1

Н₂ = {транзистор на самом деле недефектный} Р(Н₂)=1-0,1=0,9

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₂)+Р(Н₂)Р(А/Н₂)=0,1⋅0,95+0,9⋅0,03=0,095+0,027=0,122

Задача 4.В распределительном пункте (РП) установлено пять автоматических выключателей. Нормальная работа потребителей обеспечивается при их исправном состоянии. При монтаже РП выключатели выбирались из партии объемом в 1000 штук, в которой было 950 исправных выключателей и 50 не исправных. Найти вероятность исправной работы РП.

Задача 5. Две цепи электроснабжения работают параллельно на общую нагрузку (рис. 1.3). Вероятность аварийного простоя одной цепи , второй . Принимая аварийные состояния цепей независимыми, определить вероятность аварийного простоя двухцепной электропередачи для двух случаев: а) отказ электропередачи происходит при отказе одной из цепей (любой);

б) отказ электропередачи происходит при отказе только обеих цепей.

Рис. 1.2. Схема питания

Решение. а) На основании теоремы сложения вероятностей (логическая схема «или»)

.

б) На основании теоремы умножения вероятностей (логическая схема «и»)

Дополнение. Вероятность безаварийной работы:

Задача 6. Питание потребителя осуществляется по одной цепи, состоящей из кабельной линии, трансформатора, выключателя (рис. 1.4.). Вероятность безотказной работы за время t для этих элементов: . Отказ любого элемента приводит к перерыву питания, причем отказы взаимно независимы. Найти вероятность безотказной работы передачи.

Рис. 1.3. Схема питания

Решение. Обозначим: – безотказная работа линии, – трансформатора, – выключателя, А – всей системы. По теореме умножения для независимых событий

Дополнение, Вероятность отказа этой системы:

Задача 7. Силовые трансформаторы изготавливаются тремя заводами, причем вероятность того, что трансформатор выпущен на первом заводе равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,5. Вероятности того, что при определённых условиях работы трансформатор сохранит работоспособность в течение 25 лет, для первого, второго и третьего заводов соответственно равны: 0,9; 0,92; 0,808. Чему равна вероятность того, что поступивший для монтажа трансформатор сохранит работоспособность в течение 25 лет?

Решение. Этот трансформатор может оказаться с первого завода (событие ), со второго ( ), с третьего Интересующее нас событие А имеет вероятность

Задача 8. Энергосистема ограничивает промышленное предприятие в потреблении электрической мощности. При этом в течение года возможны дефициты в 5, 10 и 15 МВт с вероятностями соответственно 0,001, 0,0004 и 0,0002. Определить математическое ожидание недоотпуска электроэнергии промышленному предприятию за год.

Решение.

.

В году 8760 часов.

Задача 9.

Задача 10.

Задача 11.

Задача 12.

Задача 13.

Задача 1

В цепь переменного тока напряжением U = 300 В, и частотой 50 Гц включена последовательно катушка с индуктивным сопротивлением
Х_L =40 Ом и активным сопротивлением R= 30 Ом и конденсатор ёмкостью С = 400 мкФ. Определить ток, напряжение на катушке и конденсаторе, активную и реактивную мощности катушки и конденсатора и всей цепи.

Решение

1. Реактивное сопротивление конденсатора

Ом.

2. Комплексное сопротивление катушки

Z_к = R + jX_L = z_ке ^jφ = 30 + j40= 50e ^j53 Ом,

где z_к — модуль комплексного сопротивления катушки, а j — аргумент, равный .

3. Комплексное сопротивление всей цепи

Z = R + jX_L – jX_С = 30 + j40 – j8 = 30 + j32 = 44e ^j47 Ом,

где модуль комплексного сопротивления цепи , а .

4. Ток цепи, определяемый по закону. Ома

=6,8e^-j47 А, φ=47⁰.

5. Напряжения на участках цепи

U_к=I×Z_к=6.8e^-j47×50e^j53=340e^j6 В, φ_к =6⁰;

U_C=I×X_Ce^-j90=6.8e^-j47×8e^-j90=54.4e^-j137 B, φ_с=137⁰.

6. Мощности цепи:

реактивные: на катушке Q_L=I²×X_L=6.8²×40=1850 ВАр;

на конденсаторе Q_C=I²×X_C=6.8²×8=370 ВАp;

активная мощность выделяется только на активном сопротивлении катушки R

P=I²×R=6,8²×30=1387 Вт;

полная мощность цепи (кажущаяся)

или В·А.

Задача 2

В сеть переменного тока напряжением U = 250 В включена цепь, состоящая из двух параллельных ветвей с сопротивлениями R₁ = 25 Ом, R₂ = 10 Ом и X_L = 7 Ом.

Определить показания измерительных приборов, полную и реактивную мощности цепи,

Решение

1. Комплексное сопротивление второй ветви

Z₂ = R₂ + jX_L = 10 + j7 = 12,2e ^j35 Ом.

2. Комплексное сопротивление всей цепи

Z = Ом.

3. Общий ток цепи

I = А, φ = - 24⁰.

Ток первичной ветви I₁ = А, φ₁ = 0⁰.

Ток вторичной ветви I₂ = А, φ₂ = - 35⁰ .

Амперметр в общей ветви покажет 28 А, в первой ветви показания равны 10 А, а во второй — 21 А.

4. Ваттметр покажет суммарную активную мощность цепи

P = P₁ + P₂,

где P₁ = I₁²×R₁ = 10²×25 = 2500 Вт,

P₂ = I₂²×R₂ = 21²×10 = 4410 Вт,

P = 6910 Вт — показания ваттметра.

Реактивная мощность определяется только величиной X_L и равна

Q_L = I₂² × X_L = 21² × 7 = 3087 ваp.

Полная мощность цепи: В·А.

Задача 3

В трёхфазную четырехпроводную цепь с симметричным линейным напряжением U_Л = 220 В включены звездой сопротивлением R_A = 6 Ом, R_B = 7 Ом, R_C = 9 Ом, X_A = 7 Ом, X_B = 6 Ом, X_C = 11 Ом.

Определить фазные и линейные токи, ток нейтрального провода, мощности всей цепи и каждой фазы в отдельности.

Решение

1.Комплексные сопротивления фаз:

Z_A=R_A-jX_A=6–j7=9e^–j49 Ом;

Z_B=R_B+jX_B=7+j6=9e ^j41 Ом;

Z_C=R_C+jX_C=9+j11=14e ^j51 Ом.

2.Фазные напряжения:

U_Ф= В,

U_A=127 B; U_B=127e^–j120 B; U_C=127e ^j120 B.

3.Фазные токи ( в “звезде” они же линейные).

I_A= А,

I_B= А,

I_C = А.

4.Мощности фаз и всей цепи:

P_A=I²_A×R_A=14²×6=1176 Вт,

P_B=I²_B×R_B=14²×7=1372 Вт,

P_C=I²_C×R_C=9²×9=729 Вт,

Q_A1=I²_A×X_A=14²×7=1372 ВАp,

Q_Bl=I²_B×X_B=14²×6=1176 ВАp,

Q_Cl=I²_C×X_C=9²×11=891 ВАp.

Активная мощность всей цепи P=P_A+P_B+P_C=3277 Вт.

Реактивная мощность Q = –Q_A+Q_B+Q_C=695ВАр.

Полная мощность цепи S

S= В·А.

Кажущаяся мощность фаз

S_A1= В·А — активно-емкостного характера;

S_Bl= В·А — активно-индуктивного характера;

S_Cl= В·А — активно-индуктивного характера.

Задача 4

В трехфазную трехпроводную цепь с симметричным линейным напряжением U_Л=120 В включены треугольником активные сопротивления R_AB=5 Ом, R_BC=9 Ом и R_CA=12 Ом.

Определить фазные токи, активную мощность всей цепи и каждой фазы в отдельности.

Решение

1. Определим токи фаз, которые включены треугольником на линейные напряжения:

I_AB= А,

I_BC= А,

I_CA= А.

2. Мощность всей цепи и в каждой фазе — чисто активная.

P_AB=I²_AB×R_AB=24²×5=2880 Вт,

P_BC=I²_BC×R_BC=13.3²×9=1599,2 Вт,

P_CA=I²_CA×R_CA=10²×12=1200 Вт,

S=P=P_AB+P_BC+P_CA=5679,2 Вт.