Теории вероятностей и математической статистики»»)

Дисциплина: Математика

Для всех специальностей.

Преподаватель:

Горская Н.В.

г.Калининград,2010

Рассмотрены на заседании ПЦК «Общеобразовательных дисциплин» Протокол №__ от «___»_________2010г. Председатель ПЦК _________________Н. М. Рогачикова    

Автор: Н. В. Горская, преподаватель Калининградского филиала ГОУ АНХ

Теория вероятностей.

Основные понятия.

Определение. Событиемназывается всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

Определение. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Определение. Достоверным событиемназывается событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Исходя из этих общих понятий можно дать определение вероятности.

Определение. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.

Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.

Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью.

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.

Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное.

Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные.

К примеру при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д.

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие геометрической вероятности, т.е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).

Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок l равна отношению l/L.

Операции над событиями.

Определение. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.

Определение. Объединениемили суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одногоиз событий Аk.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Определение. Пересечениемили произведениемсобытий Ak называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий Ak.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Определение. Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Определение. Дополнительным к событию А называется событие Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru , означающее, что событие А не происходит.

Определение. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Следствие 1: Если события Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Также можно записать: Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.

Если события независимые, то Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru , и теорема умножения вероятностей принимает вид:

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий Ai, а qi – вероятность противоположных событий Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru .

Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.

Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А, появление хотя бы одной червонной карты – событие В. Таким образом нам надо определить вероятность события С = А + В.

Кроме того, события А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого.

Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.

При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной ни бубновой карты равна Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru , при вытаскивании второй карты - Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru , третьей - Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru , четвертой - Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru .

Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru .

Тогда Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Пример. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru . Вероятность того, что не выпадет 6 очков - Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru .

Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru .

Пример. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятности хотя бы одного выстрела, двух выстрелов, двух осечек.

Вероятность выстрела при первом нажатии на курок (событие А) равна Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru , вероятность осечки - Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru Вероятность выстрела при втором нажатии на курок зависит от результата первого нажатия.

Так если в первом случае произошел выстрел, то в барабане осталось только 3 патрона, причем они распределены по 5 гнездам, т.к. при втором нажатии на курок напротив ствола не может оказаться гнездо, в котором был патрон при первом нажатии на курок.

Условная вероятность выстрела при второй попытке - Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru если в первый раз был выстрел, Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - если в первый раз произошла осечка.

Условная вероятность осечки во второй раз - Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru , если в первый раз произошел выстрел, Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - если в первый раз была осечка.

Рассмотрим вероятности того, что во втором случае произойдет выстрел (событие В) или произойдет осечка (событие Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru ) при условии, что в первом случае произошел выстрел (событие А) или осечка (событие Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru ).

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - два выстрела подряд

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - первая осечка, второй выстрел

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - первый выстрел, вторая осечка

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - две осечки подряд

Эти четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице)

Анализируя полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного выстрела равна сумме Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Теперь рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на курок барабан раскрутили и опять нажали на курок.

Вероятности первого выстрела и первой осечки не изменились - Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru , Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru Условные вероятности второго выстрела и осечки вычисляются из условия, что напротив ствола может оказаться то же гнездо, что и в первый раз.

Условная вероятность выстрела при второй попытке - Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru если в первый раз был выстрел, Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - если в первый раз произошла осечка.

Условная вероятность осечки во второй раз - Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru , если в первый раз произошел выстрел, Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - если была осечка.

Тогда:

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - два выстрела подряд

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - первая осечка, второй выстрел

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - первый выстрел, вторая осечка

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru - две осечки подряд

В этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

 
  Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Ниже показаны диаграммы вероятностей для первого и второго рассмотренных случаев.

 
  Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Пример. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru , промах второго – событие Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru .

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны:

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна:

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Пример. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не бракованными.

Обозначим бракованную деталь – событие А, не бракованную – событие Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru .

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Если среди трех деталей оказывается только одна бракованная, то это возможно в одном из трех случаев: бракованная деталь будет первой, второй или третьей.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Пример. Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится: а) не более, чем в трех ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках.

а) Вероятность того, что данная деталь находится во всех четырех ящиках, равна

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru

Вероятность того, что нужная деталь находиться не более, чем в трех ящиках равна вероятности того, что она не находится во всех четырех ящиках.

Теории вероятностей и математической статистики»») - student2.ru .

б) Вероятность того, что нужная деталь находится не менее, чем в двух ящиках, складывается из вероятностей того, что деталь находиться только в двух ящиках, только в трех ящиках, только в четырех ящиках. Конечно, эти вероятности можно посчитать, а потом сложить, однако, проще поступить иначе. Та же вероятность равна вероятности того, что деталь не находится только в одном ящике и имеется вообще.

Наши рекомендации