Условные данные по субъектам России за 199Хг

Субъект РФ	Y	X
Субъект-1	68,8	45,1
Субъект-2	61,2	59,0
Субъект-3	59,9	57,2
Субъект-4	56,7	61,8
Субъект-5	55,0	58,8
Субъект-6	54,3	47,2
Субъект-7	49,3	55,2

Расчеты удобно проводить с использованием таблицы типа табл. 2.2.

Таблица 2.2

Промежуточные расчетные данные

№ п/п	уi	xi	уi xi				yi -
	68,8	45,1	3102,88	2034,01	4733,44	61,3	7,5
	61,2	59,0	3610,80	3481,00	3745,44	56,5	4,7
	59,9	57,2	3426,28	3271,84	3588,01	57,1	2,8
	56,7	61,8	3504,06	3819,24	3214,89	55,5	1,2
	55,0	58,8	3234,00	3457,44	3025,00	56,5	-1,5
	54,3	47,2	2562,96	2227,84	2948,49	60,5	-6,2
	49,3	55,2	2721,36	3047,04	2430,49	57,8	-8,5
Итого	405,2	384,3	22162,34	21338,41	23685,76	405,2	0,0
Средн.	57,89	54,90	3166,05	3048,34	3383,68	-	-
s	5,74	5,86

Решение. В табл. 2.2 графы 2 и 3 - наблюденные пары значений переменных Y и Х, графы 4-6 вычисляются непосредственно на основе граф 2 и 3. Остальные графы в этом примере не используются.

По формулам (2.7) рассчитаем параметры регрессии b₀ и b₁, получим искомое уравнение регрессии:

= 76,88 - 0,35x.

(2.10)

Смысл параметра уравнения b₁: при увеличении среднесуточного дохода на 1 руб. расход на продовольствие сократится на 0,35% от общей суммы среднесуточного расхода. Свободный член b₀ смысла не имеет.

Связь коэффициентов регрессии и корреляции

Если значение b_o из формул (2.7) подставить в уравнение регрессии (2.2)_, то после преобразований получим уравнение регрессии в отклонениях (прямая проходит через начало координат - точку ( )).

Преобразуем это уравнение: разделим обе части на s_y, умножим и разделим правую часть на s_x, получим:

.

где коэффициент r = b1 sx/sy показывает, на сколько величин sy изменится в среднем Y, если Х увеличится на одно значение sx.

(2.11)

Другой вариант формулы для расчета r:

.

(2.12)

Статистика r - выборочный коэффициент корреляции - отражает тесноту статистической связи случайных величин Х и Y. Свойства коэффициента корреляции (рис. 2.1):

1. -1 £ r £ 1. Чем ближе модуль ç r ç к 1, тем теснее связь Х и Y.

2. Если r = ± 1, то связь между Х и Y - функциональная и линейная.

3. Если r = 0, то линейная корреляционная связь между СВ Х и Y отсутствует.

4. Коэффициент r является непосредственной оценкой генерального коэффициента корреляции r между Х и Y лишь в случае двухмерного НЗР случайной величины (Х, У). В других случаях r не является строгой мерой взаимосвязи переменных.

у у у

r = +1 r » +0,8 r » +0,5

х х х

а) б) в)

у r = -1 у r » -0,8 у r » -0,5

х х х

г) д) е)

Рис. 2.1. Примеры полей корреляции и значений r

Пример 2.2. По данным табл. 2.1 и примера 2.1 рассчитать значение коэффициента корреляции r. Для расчета используем формулу (2.11): r = b₁ s_x / s_y. Неизвестные СКО s_x и s_y рассчитаем по формулам и данным табл. 2.1:

.

.

Окончательно: r = b₁ s_x / s_y = -0,35×5.86 / 5,74 = -0,36.

Данное значение r характеризует связь между Х и Y как умеренную и обратную (см. рис. 2.1.е).