Теоретические положения. При анализе пространственного поля любой климатической характеристики (Y1

При анализе пространственного поля любой климатической характеристики (Y₁, Y₂, …, Y_m, где m – число точек поля) возможны следующие основные ситуации:

а) пространственное изменение характеристики соизмеримо с погрешностью ее определения, что дает основание для осреднения:

Y_ср = f₁(Y₁, Y₂, …, Y_m,), ( 1 )

где: f₁ – функция обычного или весового (в случае разных погрешностей) осреднения, а условие соизмеримости погрешности и пространственной изменчивости характеристики можно выразить в виде критерия Фишера:

F_p=σ²_пр/ σ²_пог ≤ F_кр,α , ( 2 )

где: F_p – расчетное значение статистики критерия Фишера, F_кр,α - критическое значение статистики Фишера при уровне значимости α; σ²_пр – дисперсия пространственной изменчивости рассматриваемой характеристики; σ²_пог – дисперсия погрешности ее определения.

При уровне значимости α=5% и при средних для климатологии объемах рядов, коэффициентах асимметрии и автокорреляции F_кр близко к 2. Это обстоятельство свидетельствует о том, что осреднение может быть реализовано, если пространственная изменчивость отличается от погрешности характеристики не более, чем в 2 раза;

b) в случае, когда пространственная изменчивость характеристик превышает их погрешности и существуют закономерности их изменений по территории, то пространственной моделью является зависимость их от координат местности:

Y_i = = f₂(φ_i, λ_i), ( 3 )

где: φ_i, λ_i – соответственно широта и долгота точки пространства, к которой относится рассматриваемая климатическая характеристика;

c) третья ситуация связана с тем, что пространственная изменчивость характеристик превышает их погрешности, однако закономерности их колебаний по территории отсутствуют. В этом случае необходим поиск их зависимостей от факторов подстилающей поверхности и климатических вида

Y_i = f₃ (X₁, X₂, X₃, …) , ( 4 )

где: X₁, X₂, X₃, … - региональные факторы.

Модели (3) и (4) характеризуют два разных пространственных свойства: непрерывность и дискретность. В общем случае в природе каждая из этих ситуаций в отдельности практически не реализуется. Поэтому наиболее реалистичной является модель, включающая как зональные (норма осадков, температуры и т.д.), так и азональные (высота, лесистость, заболоченность и т.д.) факторы, определяемые свойствами только данной территории. Такое общее уравнение, объединяющее непрерывность и дискретность имеет вид:

Y_i = f₁ (φ_i, λ_i) + f₂ (X₁, X₂, X₃, …)± E , ( 5 )

где: Y_i – рассматриваемая гидрологическая характеристика;

f₁ (φ_i, λ_i) – составляющая географической зональности, представляющая собой зависимость от координат;

f₂ (X₁, X₂, X₃, …) – региональная (азональная) составляющая, представляющая собой зависимость от основных факторов в данном однородном районе;

E – неучтенные и индивидуальные факторы.

Соотношение между этими двумя составляющими и определяет эффективность применения методов интерполяции или регионализации. Так, например, для средней многолетней температуры воздуха и для достаточно большой территории вклад зональной составляющей будет определяющим и применение методов пространственной интерполяции вполне правомерно. Если же в качестве характеристики рассматривать 1%-ные осадки небольшой территории, то, скорее всего, вклад зональной составляющей будет небольшим и для расчетов необходимо использовать только региональные зависимости.

В общем случае, наличие зональной составляющей можно определить на основе статистической значимости уравнения (3), в которое в горных районах необходимо также включить еще и высоту водосбора (Н)

Y_i = b₁φ_i,*H + b₂λ_i*H+ b₀, ( 6 )

где: b₁ , b₂ , b₀ – коэффициенты уравнения.

Если хотя бы один из коэффициентов (3) или (6) является статистически значимым, то географическую составляющую необходимо учитывать;

d) четвертым случаем пространственной изменчивости является ситуация, когда изменения характеристики по территории существенны, однако, никаких закономерностей от координат и от преобладающих факторов установить не удается. В этом случае зависимость (5) является статистически незначимой. Пространственное поле в данном случае можно описать только стохастической моделью в виде параметров (среднее значение и дисперсия) пространственной функции распределения. Оценка каждого индивидуального значения в такой модели будет ненадежной, так как она характеризуется крайне широким доверительным интервалом, в котором может находиться само значение:

Y_i = Y_ср ±kσ_пр, ( 7 )

где: σ_пр – дисперсия пространственной функции распределения, k – параметр, связанный с шириной доверительного интервала (k=2 при 95%-ном доверительном интервале для нормально распределенных случайных величин).

Вместе с тем и из стохастической пространственной модели можно получить более полезную информацию, если включить в нее координату времени. Прежде всего, можно оценить, насколько устойчивы параметры распределения во времени, например, при их сравнении за два разных интервала. Однако, наиболее интересная динамическая модель может быть получена, если связать среднее многолетнее поле климатической характеристики с полями каждого года в виде линейной зависимости:

Y_{i j}= A_1jY_срi +A_0j, ±E_{i j}, ( 8 )

где: Y_ij – значение климатической характеристики в i-ом пункте в j-ый год; Y_срi – среднее многолетнее значение климатической характеристики в i-ом пункте; A_1j, A_0j- коэффициенты уравнения, определяемые по методу наименьших квадратов; E_ij - случайные отклонения.

Наиболее распространенными в климатологии являются методы пространственной интерполяции или построения изолиний. В общем случае задача интерполяции сводится к определению значения климатической характеристики в любой m-ой точке пространства на основе обобщения информации в других точках рассматриваемой территории. Как правило, это обобщение реализуется в виде весового осреднения:

Y_m(φ_m, λ_m)= K₁Y₁(φ₁, λ₁)+ K₂Y₂(φ₂, λ₂)+ . . . +K_nY_n(φ_n, λ_n), ( 9 )

где: Y_m – значение климатической характеристики в неизученной точке пространства с координатами φ_m и λ_m; Y₁, Y₂, . . ., Y_n – значения климатической характеристики в пунктах наблюдений с координатами: φ₁, λ₁; φ₂, λ₂; . . ., φ_n, λ_n; K₁, K₂ , … K_n, - весовые коэффициенты.

Наиболее простым способом является задание весовых коэффициентов обратно пропорциональными расстояниям или квадратам расстояний до изученного пункта m:

K₁=1/l₁/( 1/l₁ +1/l₂ + …+1/l_n), K₂=(1/l₂ )/( 1/l₁ +1/l₂ + …+1/l_n), . . ., ( 10 )

где: l₁, l₂, …l_n - расстояния между центрами тяжести неизученных и изученного пунктов.

Другим вариантом является использование весовых коэффициентов обратно пропорциональными длине перпендикуляров до линейно проинтерполированных значений между каждой парой климатических характеристик в пространстве. В данном случае перпендикуляр к проинтерполированному значению представляет собой часть изолинии и, чем ближе эта изолиния проходит к рассматриваемой точке, тем больше ее вес. Выражение для получения интерполированного значения в неизученном пункте имеет вид:

( 11 )

где: - проинтерполированное значение климатической характеристики в заданной точке пространства;

µ₁, µ₂, , …- значения климатической характеристики, полученные на основе линейной интерполяции между каждой парой точек с информацией;

h₁, h₂ , . . .- расстояния от рассматриваемой точки по перпендикуляру до линии, соединяющей каждую пару пунктов наблюдений.

Каждое значение h вычисляется при этом следующим образом:

, ( 12 )

где: p=(a+b+c)/2; ; ; , λ_i,φ_i, λ_j, φ_j, λ_z, φ_z, - координаты (долгота и широта) каждой пары пунктов (i и j) и неизученного водосбора (z).

Каждое проинтерполированное значение (µ) определяется по формуле:

µ=Y_i +a₁/a * Δ, ( 13 )

где: ; Δ= Y_j -Y_i при a₁<a,

Y_i , Y_j – значения гидрологических характеристик в точках i и j.

В целом же можно отметить, что существуют три подхода к интерполяции. Первый – формирование регулярной сетки с заданным шагом, которая содержит все возможные проинтерполированные значения и неизученной точке просто присваивается одно из них. Второй подход – построение изолиний и определение значения в неизученной точке на основе линейной интерполяции между изолиниями. Третий подход – индивидуальные расчеты по (9) или (11) для каждого неизученного пункта. При этом преимущество третьего подхода состоит в том, что не надо хранить большой объем сеточной информации, и каждый раз можно варьировать набором пунктов для интерполяции.