Средняя геометрическая
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные ввиде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.
Средняя геометрическаяисчисляется извлечением корня, степени n из произведений отдельных значений _ вариантов признака х:
(4.9)
где n _ число вариантов;
П _ знак произведения,
i = 1,2,…,n.
Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.
Средняя квадратическая
В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или кубических единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны кубов).
Средняя квадратическая простая являетсяквадратным корнем из частного от делений суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
(4.10)
Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по формуле:
(4.11)
где f _ веса.
Соотношение для степенных средних может быть выражено следующим образом:
Это соотношение называется правилом мажорантности средних.
Структурные средние
Структурные средние применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода (Мо)_ значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью, в дискретном вариационном ряду _ вариант, имеющий наибольшую частоту.
Например, в табл.4.1 наибольшей частотой является число 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. выработка деталей за смену. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавливающие за смену 20 деталей.
В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:
(4.12)
где _ нижняя граница модального интервала;
_ модальный интервал;
_ частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно).
Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. По данным табл. 4.4 рассчитаем моду, тыс. руб.:
Итак, модальным значением стоимости ОПФ малых предприятий региона является стоимость, равная 18,33 тыс. руб.
Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.
Медиана (Ме)_ это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части _ со значениями признака меньше медианы и со значения ми признака больше медианы. Чтобы найти медиану необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.
Пусть ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабочих (руб. в месяц ) в 2000 г.:
630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.
Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле
где n _ число членов ряда.
В нашем примере номер медианы равен 5, медиана равна 700 руб. (т.е. одна половина рабочих получила зарплату менее 700 руб., а другая _ более 700 руб. в месяц).
В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.
В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:
(4.13)
где _ нижняя граница медианного интервала;
- медианный интервал;
_ половина от общего числа наблюдений;
_ сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;
_ число наблюдений в медианном интервале.
Формула (4.13) получена исходя из допущения о равномерности нарастания накоплений частоты внутри интервала и пригодна для любого интервального ряда.
Рассчитаем медиану по данным табл. 4.4. Прежде всего найдем медианный интервал. Таким интервалом очевидно будет интервал стоимости ОПФ малых предприятий (18_20 тыс. руб.), поскольку его кумулятивная частота равна 18 (2+6+10), что превышает половину суммы всех частот (25:2 = 12,5). Нижняя граница интервала 18 млн руб., его частота 10; частота, накопленная до него, равна 8.
Подставив данные в формулу (4.13), получим, тыс. руб.:
Полученный результат говорит о том, что из 25 малых предприятий региона 12 предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18 тыс. руб., а 12 предприятий _ более этой величины.
Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности вследствие особого свойства _ сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая: .
Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.
Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить асимметрию ряда распределения.
Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа формы рядов распределения.