Средняя и средняя квадратичная проекции скорости

С учетом (2.42а)

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru

Гамильтониан зависит от квадрата скорости, поэтому направления по- и против оси x равноправные. В результате средняя проекция скорости равна нулю

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru .

Средняя квадратичная проекция скорости увеличивается с ростом температуры

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , (2.42б)

где

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru .

Доказательство

Подставляем (2.42а)

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ,

находим

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ,

где использовано

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ,

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru .

Распределение в сферических координатах

В распределении (2.41)

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru

переходим от декартовых координат к сферическим

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ,

где

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ,

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru .

Получаем вероятность обнаружения частицы с модулем скорости в интервале от v до (v+dv), движущуюся в интервале углов от (q, j) до (q+dq, j+dj)

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , (2.43)

где

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru – концентрация частиц со скоростями от (v, q, j) до (v+dv, q+dq, j+dj);

n – концентрация частиц со всеми скоростями.

Распределение по модулю скорости

Интегрируем (2.43) по углам, учитываем Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , тогда

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru (2.44)

– вероятность обнаружения частицы с модулем скорости от v до Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ;

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru (2.44а)

– функция распределения по модулю скорости – относительное число частиц с модулем скорости в единичном интервале около Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ;

dn(v) – концентрация частиц с модулем скорости от v до Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ;

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru – концентрация частиц с модулем скорости в единичном интервале около v.

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru

Условие нормировки

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru .

Площадь под кривой равна единице. Функция максимальна при наиболее вероятной скорости Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru . При Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru график является параболой. При Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru функция экспоненциально убывает.

С ростом температуры максимум распределения понижается и сдвигается вправо, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью, уменьшается вероятность обнаружить частицу с малой скоростью, площадь под кривой сохраняется.

Наиболее вероятная скорость

Для наиболее вероятной скорости функция распределения максимальна

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru.

Из

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru

с учетом (2.44а)

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru

находим наиболее вероятную скорость

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru . (2.45)

Средняя скорость

Из теории вероятности

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru .

Подставляем (2.44а)

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ,

находим

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru . (2.46)

При вычислении использовано

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ,

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru .

Средняя квадратичная скорость

Используя

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru .

аналогично находим

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru . (2.47)

Распределение по энергии

В распределении по модулю скорости (2.44)

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru

заменяем

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ,

где ε – кинетическая энергия частицы. Получаем вероятность найти частицу с энергией в интервале Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , (2.48)

где функцияраспределения Максвелла по энергии

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru (2.48а)

– относительное число частиц с энергией в единичном интервале около ε;

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru – концентрация частиц с энергией в интервале Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru ;

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru – концентрация частиц с энергией в единичном интервале около Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru .

Выполняется нормировка

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru , Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru .

Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru

Площадь под кривой Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru – единица. Функция максимальна при наиболее вероятной энергии Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru . При Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru график является параболой с горизонтальной осью. При Средняя и средняя квадратичная проекции скорости - student2.ru функция экспоненциально убывает.

С ростом температуры максимум функции понижается, сдвигается вправо и увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей энергией, уменьшается вероятность обнаружить частицу с низкой энергией.

Наши рекомендации