Общая схема исследования функции
И построения ее графика
1. Найти область определения функции и установить наличие вертикальных асимптот.
2. Исследовать функцию на четность/нечетность, периодичность.
3. Установить наличие наклонных (горизонтальных) асимптот.
4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
5. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика.
6. Найти точки пересечения графика с осями координат и дополнительные точки, уточняющие график.
2.49. Исследовать функцию и построить ее график:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
; 6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Контрольные задания
Вариант 1.
1. Найти 
2. Исследовать функцию и построить ее график: 
Вариант 2.
1. Найти 
2. Исследовать функцию и построить ее график: 
Вариант 3.
1. Найти 
2. Исследовать функцию и построить ее график: 
Неопределенный интеграл
Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′(x) = f(x).
Определение.Неопределенным интегралом от функции f(x) называется семейство ее первообразных:
где F(x) – некоторая первообразная для f(x);
C – произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла
Таблица интегралов
1. 
2. 
3. 
Частный случай: 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
Частный случай: 
9. 
Частный случай 
10. 
11. 
Примеры.
2.50. Найти интегралы:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
; 8) 
; 9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
; 13) 
; 14) 
.
2.51. Найти интегралы:
1) 
2) 
3) 
; 4) 
;
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
; 14) 
; 15) 
; 16) 
;
17) 
18) 
Метод замены переменной
В неопределенном интеграле
где 
– дифференцируемая функция.
Примеры.
2.52. Найти интегралы методом замены переменной:
1) 
2) 
3) 
4) 
; 5) 
6) 
7) 
; 8) 
9) 
10) 
; 11) 
12) 
;
13) 
14) 
15) 
;
16) 
; 17) 
; 18) 
Пример 2.4.
2.53. Найти интегралы от рациональных функций.
1) 
; 2) 
; 3) 
dx;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
8) 
9) 
dx;
10) 
; 11) 
; 12) 
Пример 2.5.
2.54. Найти интегралы от иррациональных функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
5) 
6) 
; 7) 
2.55. Найти интегралы от тригонометрических функций:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
; 6) 
; 7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
Метод интегрирования по частям
В неопределенном интеграле
Пусть u= u(x), v= v(x)– дифференцируемые функции. Тогда справедливо равенство (формула интегрирования по частям):
Примеры.
2.56. Найти интегралы, применяя интегрирование по частям:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
2.57. Найти интегралы:
1) 
2) 
3) 
; 4) 
;
5) 
6) 
; 7) 
8) 
dx;
9) 
10) 
; 11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
Определенный интеграл
Определение. Определенным интегралом от функции f(х) называется предел интегральной суммы:
При этом функция f(х) называется подынтегральной функцией, а и b – нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.
Укажем свойства определенного интеграла, которые будут необходимы при решении задач:
1. 
2. 
3. 
4. 
Геометрический смысл определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f(х), равна
