Средняя гармоническая (СГ)

СГ применяется в тех случаях, когда частоты (веса) не приводятся непосредственно, а входят сомно­жителями в один из имеющихся показателей.

Пример. Автомобиль доставил товары в три магазина фирмы "Весна", которые удалены от головного предприятия на одинаковое расстояние. Так, до первого магазина, расположенного на шоссейной дороге, автомобиль прошел путь со скоростью 50 км/ч, до второго, по проселочной дороге, — 40 км/ч, а в третьем случае автомобилю пришлось полпути пройти через лесной массив, и скорость движения составила только 30 км/ч.

Требуется определить среднюю скорость движения автомобиля. На первый взгляд представляется, что средняя скорость • движения может быть определена по формуле простой арифметической:

Однако нетрудно убедиться, что средняя вычислена непра­вильно. В самом деле, производя расчет средней скорости по про­стой арифметической средней, исходим из того, что автомобиль во всех трех случаях прошел одинаковое расстояние, пройдя соответ­ственно 50, 40 и 30 км, т. е. всего 120 км. Если бы условие этой за­дачи было сформулировано в такой форме, то средняя была бы рас­считана правильно и характеризовала бы пройденное автомобилем среднее расстояние.

В действительности же эта средняя рассчитана неверно, так как «в условия задачи не следует, что автомобиль на преодоление рас­стояния до трех магазинов фирмы "Весна" проехал 120 км, так как Скорость движения была различная. Следовательно, он прошел и разное расстояние.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется СГ простая, ис­числяемая по формуле:

где x – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; n– число вариантов.

(8)

или в сокращенном виде

где —средняя гармоническая; — числа, обратные заданным вариантам.

Иначе говоря, СГ простая отношение числа вариантов к сумме обратных значений этих вариантов.

Для нашего примера будем иметь:

В нашем примере СА (х_а) оказалась больше средней гармонической .

При этом абсолютная ошибка завышениясоставляет — 2 км/ч (38 - 40), а относительная —5%

Т.о., неправильное использование СА привело бы к завышению средней скорости движения автомобиля и к неправильному определению объема перевозок. Это еще раз доказывает, с какой осторожностью следует решать вопрос о том, какую среднюю надлежит применять в экономических расчетах.

В рассмотренном примере частоты (веса) имели одно значение и равнялись единице. Если же частоты (веса) различные, то применяется СГ взвешенная,которая вычисляется следующим образом:

Где - СГ взвешенная:

Как первая, так и вторая формулы показывают, что СГ есть величина обратная СА.

Веса арифметической средней и гармонической средней обо­значены разными буквами: f и m. Это не случайно, так как весами СА служат частоты рассматриваемого ряда, а весами СГ будет произведение вариантов на веса.

Пример. Рассмотрим данные о реализации товаров по двум магазинам фирмы "Весна" (табл. 6). Таблица .6

Данные о реализации товаров по двум магазинам фирмы "Весна"

Магазины	Цена товара (х), руб.	Количество реализованного товара (f), кг	Товарооборот (m=xf), руб.
№ 1	20,0
№ 2	18,0
ИТОГО	—

Из условия задачи видно, что количество реализованного това­ра, принимается за вес, который обозначается через букву f Товарооборот— произведение цены на количество товара: полученный таким образом вес обозначается через т.

Для определения средней цены реализованного товара, исходя из условий задачи, можно применить в одном случае арифметическую, в другом — гармоническую взвешенную. Если при вычислении средней цены в качестве веса брать количество проданного товара (f), то решение производят по арифметической взвешенной:

Если же в качестве веса используется товарооборот (го), для расчета средней цены нужно применить среднюю гармоническую:

Следовательно, выбор формулы средней (гармонической или арифметической) зависит от так называемого определяющего показателя.

Определяющим показателем называется показатель, который получает реальное экономическое значение при умножении вариантов на веса или при делении весовна варианты.В нашем примере в первом случае при перемножении вариантов на веса (xf) получается сумма товарооборота, т. е. реальная экономическая величина. Поэтому для расчета средней цены применяют СА взвешенную.

Во втором случае перемножение вариантов на веса (х • т), т. е. цены товара на товарооборот, никакого реального показателя не дает, а получается бессмыслица. Поэтому во втором случае веса делят на варианты . Частное от деления товарооборота на цену показывает количество реализованного товара и имеет реальный эк. смысл. В этом случае применяется СГ взвешенная.

Когда с/информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение xf, применяется формула СГ взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим x*f = w, откуда f = w/x. Теперь преобразуем формулу СА таким образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу СА взвешенной (2) вместо xf подста­вим w, вместо f – отношение w/х и получим формулу СГ взвешенной:

Из формулы (7) видно, что средняя гармоническая – средняя взвешенная из варьирующих обратных значений при­знака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда мож­но рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах СГ.

(7)

Т.о., СГ применяется то­гда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w = xf, т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины:

Например, по данным (табл. 5) требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля.

Расчет средней цены производится следующим образом:

Определяющим показателем здесь является числитель этой логической формулы. Выручка от реализации w известна (числитель), а количество реализованных единиц – неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показа­теля на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.

Тогда средняя цена 1 кг картофеля, руб., по трем ком­мерческим магазинам может быть исчислена по формуле (6) средней гармонической взвешенной:

Этот же результат получится и по средней арифметиче­ской взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рас­считать), руб.:

Полученная средняя цена 1 кг картофеля является реаль­ной величиной, ее произведение на все количество проданного картофеля дает общий объем реализации, выступающий в каче­стве определяющего показателя (5 700 руб.).

Исчисление СГ взвешенной по формуле (6) освобождает от необходимости предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.